-->

Contoh Soal Pembuktian Grup Abelian dalam Aljabar -1

Topik Bahasan
Soal 1: Misalkan $ \mathbb{Z} $bilangan bulat dan didefinisikan operasi biner x * y = x + y - 1, $ \forall x,y \in \mathbb{Z}$. Tunjukkan bahwa ($\mathbb{Z}$, *) merupakan grup abelian!

Pembuktian:
Untuk membuktikan bahwa ($\mathbb{Z}$, *) grup abelian, maka harus ditunjukkan bahwa ($\mathbb{Z}$, *) memenuhi 4 aksioma (sifat).
i) Sifat asosiatif
Akan ditunjukkan bahwa $x * (y * z) = (x * y) * z, \forall x,y,z \in \mathbb{Z}$
 x * y * z = x * (y + z - 1) = x + (y + z - 1) - 1
 = (x + y - 1) + z - 1 = (x * y) + z - 1
 = (x * y) * z
Jadi, operasi * berlaku sifat asosiatif.

ii) Memiliki identitas
Akan ditunjukkan bahwa ada $e \in \mathbb{Z} $sedemikian sehingga berlaku $x * e = e * x = x, x \in \mathbb{Z}$
Perhatikan bahwa:
$ x * e = x \Leftrightarrow x + e - 1 = x$
$ \Leftrightarrow e - 1 = 0 \Leftrightarrow e = 1$
dan
$ e * x = x \Leftrightarrow e + x - 1 = x$
$ \Leftrightarrow e - 1 = 0 \Leftrightarrow e = 1$
Jadi, ($\mathbb{Z}$, *) memiliki identitas, yaitu 1.

iii) Setiap elemen ($ \mathbb{Z}$, *) memiliki invers.
Akan ditunjukkan bahwa$ x * x^{-1} = x^{-1} * x = e = 1, x \in \mathbb{Z}$
Perhatikan bahwa,
 $x * x^{-1} = 1\Leftrightarrow x + x^{-1} - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 - x$
$ x * x^{-1} = 1\Leftrightarrow x^{-1} + x - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 - x$
Jadi, setiap$ x \in \mathbb{Z}$ memiliki invers yaitu x$^{-1}$ = 2 - x.

iv) Bersifat komutatif
Akan ditunjukkan bahwa berlaku x * y = y * x, $\forall x,y \in \mathbb{Z}$
 x * y = x + y - 1 = y + x - 1 = y * x
Jadi, operasi * bersifat komutatif.
Karena memenuhi 4 aksioma ini, maka
 ($\mathbb{Z}$, *) terbukti merupakan grup abelian..

Semoga pembahasan soal Contoh Soal Pembuktian Grup Abelian dalam Aljabar -1 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...