-->

Contoh Soal Aljabar dan Pembahasan Grup Abelian

Topik Bahasan
Misalkan P adalah himpunan bilangan bulat berkelipatan 3. Tunjukkan bahwa (P, +) merupakan grup abelian.

Penyelesaian:
Diberikan $P = \{3x | x \in \mathbb{Z}\}$
(Sifat tertutup) Ambil sembarang $a = 3x \in P dan b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a + b \in P$
 a + b = 3x + 3y = 3(x + y)
Karena $x + y \in \mathbb{Z}$, maka jelas bahwa $3(x + y) \in P$
(Sifat asosiatif) Ambil sembarang $a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa (a + b) + c = a + (b + c)
$ \begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}$

(Eksistensi identitas) Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3.0\in P $sedemikian sehingga berlaku a + b = a

$ \begin{aligned} a + b = 3x + 3.0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas dalam P terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah 0.
(Invers) Ambil sembarang$ a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3(-x) \in P$ sedemikian sehingga berlaku a + b = 0
 $\begin{aligned} a + b = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0 \end{aligned}$
(Sifat komutatif) Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa a + b = b + a
 $\begin{aligned} a + b = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}$
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan (P, +) merupakan grup komutatif (grup abelian).

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...