Topik Bahasan
aljabar
Misalkan P adalah himpunan bilangan bulat berkelipatan 3. Tunjukkan bahwa (P, +) merupakan grup abelian.
Penyelesaian:
Diberikan $P = \{3x | x \in \mathbb{Z}\}$
(Sifat tertutup) Ambil sembarang $a = 3x \in P dan b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a + b \in P$
a + b = 3x + 3y = 3(x + y)
Karena $x + y \in \mathbb{Z}$, maka jelas bahwa $3(x + y) \in P$
(Sifat asosiatif) Ambil sembarang $a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa (a + b) + c = a + (b + c)
$ \begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}$
(Eksistensi identitas) Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3.0\in P $sedemikian sehingga berlaku a + b = a
$ \begin{aligned} a + b = 3x + 3.0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas dalam P terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah 0.
(Invers) Ambil sembarang$ a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3(-x) \in P$ sedemikian sehingga berlaku a + b = 0
$\begin{aligned} a + b = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0 \end{aligned}$
(Sifat komutatif) Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa a + b = b + a
$\begin{aligned} a + b = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}$
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan (P, +) merupakan grup komutatif (grup abelian).
Semoga pembahasan soal Contoh Soal Aljabar dan Pembahasan Grup Abelian ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Misalkan P adalah himpunan bilangan bulat berkelipatan 3. Tunjukkan bahwa (P, +) merupakan grup abelian.
Penyelesaian:
Diberikan $P = \{3x | x \in \mathbb{Z}\}$
(Sifat tertutup) Ambil sembarang $a = 3x \in P dan b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa $a + b \in P$
a + b = 3x + 3y = 3(x + y)
Karena $x + y \in \mathbb{Z}$, maka jelas bahwa $3(x + y) \in P$
(Sifat asosiatif) Ambil sembarang $a = 3x \in P, b = 3y \in P, dan c = 3z \in P$. Akan ditunjukkan bahwa (a + b) + c = a + (b + c)
$ \begin{aligned} (a + b) + c & = (3x + 3y) + 3z \\ & = 3(x + y) + 3z \\ & = 3((x + y) + z \\ & = 3(x + (y + z)) \\ & = 3x + 3(y +z) \\ & = 3x + (3y + 3z) \\ & = a + (b + c) \end{aligned}$
(Eksistensi identitas) Ambil sembarang $a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3.0\in P $sedemikian sehingga berlaku a + b = a
$ \begin{aligned} a + b = 3x + 3.0 \\ & = 3(x + 0) \\ & = 3x = a \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas dalam P terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat adalah 0.
(Invers) Ambil sembarang$ a = 3x \in P$. Akan ditunjukkan bahwa ada $b = 3(-x) \in P$ sedemikian sehingga berlaku a + b = 0
$\begin{aligned} a + b = 3x + 3(-x) \\ & = 3(x + (-x)) \\ & = 3(0) = 0 \end{aligned}$
(Sifat komutatif) Ambil sembarang $a = 3x \in P$ dan $b = 3y \in P$. Akan ditunjukkan bahwa a + b = b + a
$\begin{aligned} a + b = 3x + 3y \\ & = 3(x + y) \\ & = 3(y + x) \\ & = 3y + 3x = b + a \end{aligned}$
Karena memenuhi kelima syarat, maka dapat disimpulkan (P, +) merupakan grup komutatif (grup abelian).
Semoga pembahasan soal Contoh Soal Aljabar dan Pembahasan Grup Abelian ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang aljabar
Loading...