Topik Bahasan
lingkaran
Buat yang bertanya tanya darimana datangnya rumus garis singgung lingkaran berikut kita berikan penurunan atau pembuktian rumus garis singgung lingkaran tersebut. Silakan disimak dengan saksama.
Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
AKan dibuktikan
Persamaan garis singgung : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $
Pembuktian:
i) Andaikan titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran dengan pusat $ P(0, 0) $ dan jari-jari $ r $ yaitu, $ x^2 + y^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1} $
ii) Rumus Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
iii). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
iv). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ adalah $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .
BUKTI :
i). Misal titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
ii).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
iii). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align} $
iv). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ adalah $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $ .
Jika persamaan dalam bentuk ekspansi maka pembuktiannya seperti berikut,
Bukti :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ adalah $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .
Baca juga: Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m.
Semoga pembahasan soal Penurunan-Pembuktian Rumus Garis Singgung Lingkaran pada Suatu Titik ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Buat yang bertanya tanya darimana datangnya rumus garis singgung lingkaran berikut kita berikan penurunan atau pembuktian rumus garis singgung lingkaran tersebut. Silakan disimak dengan saksama.
Pusat (0,0)
Diketahui:Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
AKan dibuktikan
Persamaan garis singgung : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $
Pembuktian:
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1} $
ii) Rumus Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
iii). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
iv). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ adalah $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .
Pusat (a,b)
Diketahui
Persamaan lingkarannya : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Akan dibuktikan
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $
Persamaan lingkarannya : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Akan dibuktikan
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
ii).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
iii). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align} $
iv). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ adalah $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $ .
Jika persamaan dalam bentuk ekspansi maka pembuktiannya seperti berikut,
Diketahui
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
Akan dibuktikan
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
Akan dibuktikan
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $
Bukti :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ adalah $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .
Baca juga: Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m.
Semoga pembahasan soal Penurunan-Pembuktian Rumus Garis Singgung Lingkaran pada Suatu Titik ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang lingkaran
Loading...