-->

Menghitung Nilai Sin 18 Derajat denga Rumus Trigonometri

Topik Bahasan
Untuk memudahkan dalam mempelajari artikel Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat ini, ada beberapa rumus dasar trigonometri yang harus kita kuasai yaitu "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda", "rumus trigonometri untuk jumlah sudut-sudut", dan satu lagi yaitu "sudut komplemen" pada kuadran I, serta "rumus ABC" pada persamaan kuadrat.

Rumus-rumus dasar yang dibutuhkan

       Berikut beberapa rumus dasar yang kita butuhkan untuk menghitung nilai sin 18 derajat.
$\spadesuit \, $ Rumus sudut ganda dan tripel :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
$ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
$ \clubsuit \, $ Aturan sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah sudut :
$ \cos (A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\clubsuit \, $ Rumus ABC :
Rumus ABC digunakan untuk menentukan penyelesaian (akar-akar) dari persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan rumus :
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

Sebelumnya kita buktikan dulu rumus $ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
Rumus identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $.
$ \begin{align} \cos 3A & = \cos (2A + A) \, \, \, \, \, \, \text{(rumus jumlah sudut)} \\ & = \cos 2A \cos A - \sin 2A \sin A \, \, \, \, \, \, \text{(rumus sudut ganda)} \\ & = (2\cos ^2 A - 1) \cos A - (2\sin A \cos A) \sin A \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2\sin ^2 A \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigonometri)} \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2(1-\cos ^2 A) \cos A \\ & = 2\cos ^3 A - \cos A - 2\cos A + 2\cos ^3 A \\ & = 4\cos ^3 A - 3\cos A \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \cos 3A = 4\cos ^3 A - 3\cos A $
Nilai sin 18 derajat
Nilai sin 18 derajat adalah : $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $

Cara Menghitung Nilai Sin 18 derajat :

*). Pertama kita gunakan sudut komplemen dulu :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \sin 36^\circ = \cos (90^\circ - 36^\circ ) \rightarrow \sin 36^\circ = \cos 54^\circ \, $ ...pers(i)
*). Kita misalkan $ A = 18^\circ \, $ , langsung kita modifikasi pers(i) dengan rumus yang ada :
$ \begin{align} \sin 36^\circ & = \cos 54^\circ \\ \sin 2 \times 18^\circ & = \cos 3 \times 18^\circ \\ \sin 2 \times A & = \cos 3 \times A \\ \sin 2 A & = \cos 3 A \, \, \, \, \, \, \text{(sudut ganda dan tripel)}  \\ 2\sin A \cos A & = 4\cos ^3 A - 3\cos A \\ 2\sin A \cos A & = (4\cos ^2 A - 3) \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } \cos A) \\ 2\sin A & = 4\cos ^2 A - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4( 1 - \sin ^2 A) - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4 - 4\sin ^2 A - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(pindah ke ruas kiri)} \\ 4\sin ^2 A + 2\sin A - 1 & = 0 \\ 4(\sin A )^2 + 2\sin A - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } x = \sin A ) \\ 4x^2 + 2x - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(rumus ABC)} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4.4.(-1)}}{2.4} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4 +16}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \end{align} $
Kita peroleh nilai $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \, $ artinya $ \sin A = \sin 18^\circ = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $
Karena $ 18^\circ \, $ ada di kuadran I, maka nilai $ \sin 18^\circ \, $ harus positif, sehingga nilai dari sin 18 derajat adalah $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
Jadi, terbukti nilai dari $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $ ..

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...