Topik Bahasan
Kode 924 2019,
UM UGM
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $
B). $ 18 \, $
C). $ 27 \, $
D). $ 36 \, $
E). $ 45 \, $
Gambar lingkaran dan garisnya :
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
Jari-jari lingkaran = jarak titik $ (a,b) $ ke titik $(3,0) $
$\begin{align} r & = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (\sqrt{(a-3)^2 + b^2})^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \end{align} $
*). Substitusi titik $ (9,0) $ ke persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + (0-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 & = (a-3)^2 \\ 81 - 18a + a^2 & = a^2 - 6a + 9 \\ 12a & = 72 \\ a & = 6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 $
Jawab
Gambar lingkaran dan garisnya :
Perhatikan sketsa gambar lingkaran di atas, pusat lingkarannya $ (a,b) $ dimana $ a $ adalah absis yang nilainya ditengah-tengah $ x = 3 $ dan $ x = 9 $, sehingga $ a = \frac{3+9}{2} = 6 $.
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
-). Substitusi nilai $ a = 6 $ ke pers(i) :
$ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $ .
Semoga pembahasan soal Soal Pembahasan (Lingkaran) UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $
B). $ 18 \, $
C). $ 27 \, $
D). $ 36 \, $
E). $ 45 \, $
Catatan
*). Persamaan lingkaran berpusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ dan $ (m,n) $ :
Jarak $ = \sqrt{(a-m)^2 + (b - n)^2} $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
(perkalian kedua gradiennya = $ - 1 $)
*). Titik yang dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan lingkarannya.
Jawaban *). Persamaan lingkaran berpusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ dan $ (m,n) $ :
Jarak $ = \sqrt{(a-m)^2 + (b - n)^2} $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
(perkalian kedua gradiennya = $ - 1 $)
*). Titik yang dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan lingkarannya.
Gambar lingkaran dan garisnya :
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
Jari-jari lingkaran = jarak titik $ (a,b) $ ke titik $(3,0) $
$\begin{align} r & = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (\sqrt{(a-3)^2 + b^2})^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \end{align} $
*). Substitusi titik $ (9,0) $ ke persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + (0-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 & = (a-3)^2 \\ 81 - 18a + a^2 & = a^2 - 6a + 9 \\ 12a & = 72 \\ a & = 6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 $
Alternatif
Jawaban
Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
Jawab
Gambar lingkaran dan garisnya :
Perhatikan sketsa gambar lingkaran di atas, pusat lingkarannya $ (a,b) $ dimana $ a $ adalah absis yang nilainya ditengah-tengah $ x = 3 $ dan $ x = 9 $, sehingga $ a = \frac{3+9}{2} = 6 $.
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
-). Substitusi nilai $ a = 6 $ ke pers(i) :
$ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $ .
Semoga pembahasan soal Soal Pembahasan (Lingkaran) UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 924 2019, UM UGM
Loading...