Topik Bahasan
splk
Soal 1
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut.
a. $\begin{cases} y & = 6-5x \\ y & = x^2 \end{cases}$
b. $\begin{cases} y & = x+3 \\ y & = x^2-5x+8 \end{cases}$
c. $\begin{cases} y & = 3x-8 \\ y & = x^2-3x \end{cases}$
d. $\begin{cases} y & = x+1 \\ y & = x^2+x \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = 6-5x && (\cdots 1) \\ y & = x^2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 6-5x \\ x^2+5x-6 & = 0 \\ (x+6)(x-1) & = 0 \\ x = -6~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x^2$.
$$\begin{aligned} x = -6 & \Rightarrow y = (-6)^2 = 36 \\ x = 1 & \Rightarrow y = (1)^2 = 1 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-6, 36), (1, 1)\}}$
Jawaban d)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+1 && (\cdots 1) \\ y & = x^2+x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+x & = x+1 \\ x^2-1 & = 0 \\ (x+1)(x-1) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+1$.
$$\begin{aligned} x = -1 & \Rightarrow y = -1+1 = 0 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+1 = 2 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-1, 0), (1, 2)\}}$
Soal Nomor 2
Diketahui SPLK 2
$$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 \\ y & = x^2-4x \end{cases}$$
Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat itu tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
Carilah himpunan penyelesaiannya itu.
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-4x && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat diubah menjadi $y = -2x-1$.
Substitusikan persamaan ini ke persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} -2x-1 & = x^2-4x \\ 0 & = x^2-2x+1 \end{aligned}$$Sistem tersebut memiliki tepat satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki diskriminan yang nilainya $0$.
$$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-2)^2-4(1)(1) \\ & = 4-4 = 0 \end{aligned}$$(Terbukti)
Jawaban b)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 2x-y-3 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2-y^2 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = 2x-3$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2-\color{red}{y}^2 & = 0 \\ (x+\color{red}{y})(x-\color{red}{y}) & = 0 \\ (x+(2x-3))(x-(2x-3)) & = 0 \\ (3x-3)(-x+3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = 1$, maka diperoleh $y = -1$.
Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 3$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, -1), (3, 3)\}}$
Jawaban c)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 3x-y-16 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = 3x-16$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-6x+4\color{red}{y}-12 & = 0 \\ x^2 + (3x-16)^2-6x + 4(3x-16)-12 & = 0 \\ x^2 + (9x^2-96x+256)-6x + 12x-64-12 & = 0 \\ 10x^2-90x+180 & = 0 \\ x^2-9x+18 & = 0 && (\text{bagi}~10) \\ (x-3)(x-6) & = 0 \end{aligned}$$Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = -7$.
Jika $x = 6$, maka diperoleh $y = 2$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{3, -7), (6, 2)\}}$.
Semoga pembahasan soal Soal dan Pembahasan SPLK ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal 1
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut.
a. $\begin{cases} y & = 6-5x \\ y & = x^2 \end{cases}$
b. $\begin{cases} y & = x+3 \\ y & = x^2-5x+8 \end{cases}$
c. $\begin{cases} y & = 3x-8 \\ y & = x^2-3x \end{cases}$
d. $\begin{cases} y & = x+1 \\ y & = x^2+x \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = 6-5x && (\cdots 1) \\ y & = x^2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 6-5x \\ x^2+5x-6 & = 0 \\ (x+6)(x-1) & = 0 \\ x = -6~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x^2$.
$$\begin{aligned} x = -6 & \Rightarrow y = (-6)^2 = 36 \\ x = 1 & \Rightarrow y = (1)^2 = 1 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-6, 36), (1, 1)\}}$
Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+3 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-5x+8 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-5x+8 & = x+3 \\ x^2-6x+5 & = 0 \\ (x-5)(x-1) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+3$.
$$\begin{aligned} x = 5 & \Rightarrow y = 5+3 = 8 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+3 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(5, 8), (1, 4)\}}$
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+3 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-5x+8 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-5x+8 & = x+3 \\ x^2-6x+5 & = 0 \\ (x-5)(x-1) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+3$.
$$\begin{aligned} x = 5 & \Rightarrow y = 5+3 = 8 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+3 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(5, 8), (1, 4)\}}$
Jawaban c)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = 3x-8 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-3x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-3x & = 3x-8 \\ x^2-6x+8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = 3x-8$.
$$\begin{aligned} x = 2 & \Rightarrow y = 3(2)-8 = -2 \\ x = 4 & \Rightarrow y = 3(4)-8 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(2, -2), (4, 4)\}}$
Diketahui
$$\begin{cases} y & = 3x-8 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-3x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-3x & = 3x-8 \\ x^2-6x+8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = 3x-8$.
$$\begin{aligned} x = 2 & \Rightarrow y = 3(2)-8 = -2 \\ x = 4 & \Rightarrow y = 3(4)-8 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(2, -2), (4, 4)\}}$
Jawaban d)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+1 && (\cdots 1) \\ y & = x^2+x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+x & = x+1 \\ x^2-1 & = 0 \\ (x+1)(x-1) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+1$.
$$\begin{aligned} x = -1 & \Rightarrow y = -1+1 = 0 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+1 = 2 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-1, 0), (1, 2)\}}$
Soal Nomor 2
Diketahui SPLK 2
$$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 \\ y & = x^2-4x \end{cases}$$
Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat itu tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
Carilah himpunan penyelesaiannya itu.
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-4x && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat diubah menjadi $y = -2x-1$.
Substitusikan persamaan ini ke persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} -2x-1 & = x^2-4x \\ 0 & = x^2-2x+1 \end{aligned}$$Sistem tersebut memiliki tepat satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki diskriminan yang nilainya $0$.
$$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-2)^2-4(1)(1) \\ & = 4-4 = 0 \end{aligned}$$(Terbukti)
Jawaban b)
Sebelumnya, kita peroleh persamaan kuadrat $x^2-2x+1 = 0$, yang dapat difaktorkan menjadi $(x-1)^2 = 0$ sehingga penyelesaiannya adalah $x=1$.
Substitusi $x=1$ pada persamaan linearnya sehingga didapat
$$y = -2\color{red}{x}-1 = -2(1)-1 = -3 $$Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, -3)\}}$
Soal Nomor 3
Carilah nilai $a$ agar tiap SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = x^2-3x \end{cases}$
b. $\begin{cases} y & = ax+1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 \end{cases}$
c. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = \dfrac12x^2-2 \end{cases}$
d. $\begin{cases} y & = ax+2 \\ y & = ax^2+x+1 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+a && (\cdots 1) \\ y & = x^2-3x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-3x & = x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-4}_{b}x+\underbrace{(-a)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (-4)^2-4(1)(-a) & = 0 \\ 16+4a & = 0 \\ 4a & = -16 \\ a & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}$
Sebelumnya, kita peroleh persamaan kuadrat $x^2-2x+1 = 0$, yang dapat difaktorkan menjadi $(x-1)^2 = 0$ sehingga penyelesaiannya adalah $x=1$.
Substitusi $x=1$ pada persamaan linearnya sehingga didapat
$$y = -2\color{red}{x}-1 = -2(1)-1 = -3 $$Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, -3)\}}$
Soal Nomor 3
Carilah nilai $a$ agar tiap SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = x^2-3x \end{cases}$
b. $\begin{cases} y & = ax+1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 \end{cases}$
c. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = \dfrac12x^2-2 \end{cases}$
d. $\begin{cases} y & = ax+2 \\ y & = ax^2+x+1 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+a && (\cdots 1) \\ y & = x^2-3x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-3x & = x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-4}_{b}x+\underbrace{(-a)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (-4)^2-4(1)(-a) & = 0 \\ 16+4a & = 0 \\ 4a & = -16 \\ a & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}$
Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = ax+1 && (\cdots 1) \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12x^2+x+1 & = ax+1 \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(1-a)}_{b}x+\underbrace{0}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (1-a)^2-4\left(\dfrac12\right)(0) & = 0 \\ (1-a)^2 & = 0 \\ 1-a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=1}$
Diketahui
$$\begin{cases} y & = ax+1 && (\cdots 1) \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12x^2+x+1 & = ax+1 \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(1-a)}_{b}x+\underbrace{0}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (1-a)^2-4\left(\dfrac12\right)(0) & = 0 \\ (1-a)^2 & = 0 \\ 1-a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=1}$
Jawaban c)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+a && (\cdots 1) \\ y & = \dfrac12x^2-2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12x^2-2 & = x+a \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-1}_{b}x+\underbrace{(-2-a)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (-1)^2-4\left(\dfrac12\right)(-2-a) & = 0 \\ 1+4+2a & = 0 \\ 2a & = -5 \\ a & = -\dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-\dfrac52}$
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+a && (\cdots 1) \\ y & = \dfrac12x^2-2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12x^2-2 & = x+a \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-1}_{b}x+\underbrace{(-2-a)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (-1)^2-4\left(\dfrac12\right)(-2-a) & = 0 \\ 1+4+2a & = 0 \\ 2a & = -5 \\ a & = -\dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-\dfrac52}$
Jawaban d)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = ax+2 && (\cdots 1) \\ y & = ax^2+x+1 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} ax^2+x+1 & = ax+2 \\ \underbrace{a}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(1-a)}_{b}x+\underbrace{(-1)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (1-a)^2-4(a)(-1) & = 0 \\ (1-2a+a^2)+4a & = 0 \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ (a+1)^2 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-1}$
Soal Nomor 4
Carilah batas-batas nilai $a$ agar setiap SPLK berikut ini sekurang-kurangnya memiliki satu anggota himpunan penyelesaian.
a. $\begin{cases} y & = 2x+a \\ y & = x^2-4x+5 \end{cases}$
b. $\begin{cases} 3x+y & = -1 \\ y^2-2ax & = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui $$\begin{cases} y & = 2x+a && (\cdots 1) \\ y & = x^2-4x+5 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{cases} x^2-4x+5 & = 2x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-6}_{b}x+\underbrace{(5-a)}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$.
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ (-6)^2-4(1)(5-a) & \geq 0 \\ 36-20+4a & \geq 0 \\ 16+4a & \geq 0 \\ 4a & \geq -16 \\ a & \geq -4 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \geq -4}$
Diketahui
$$\begin{cases} y & = ax+2 && (\cdots 1) \\ y & = ax^2+x+1 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} ax^2+x+1 & = ax+2 \\ \underbrace{a}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(1-a)}_{b}x+\underbrace{(-1)}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (1-a)^2-4(a)(-1) & = 0 \\ (1-2a+a^2)+4a & = 0 \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ (a+1)^2 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-1}$
Soal Nomor 4
Carilah batas-batas nilai $a$ agar setiap SPLK berikut ini sekurang-kurangnya memiliki satu anggota himpunan penyelesaian.
a. $\begin{cases} y & = 2x+a \\ y & = x^2-4x+5 \end{cases}$
b. $\begin{cases} 3x+y & = -1 \\ y^2-2ax & = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui $$\begin{cases} y & = 2x+a && (\cdots 1) \\ y & = x^2-4x+5 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{cases} x^2-4x+5 & = 2x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-6}_{b}x+\underbrace{(5-a)}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$.
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ (-6)^2-4(1)(5-a) & \geq 0 \\ 36-20+4a & \geq 0 \\ 16+4a & \geq 0 \\ 4a & \geq -16 \\ a & \geq -4 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \geq -4}$
Jawaban b)
Diketahui $$\begin{cases} 3x+y & = -1 && (\cdots 1) \\ y^2-2ax & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = -1-3x$.
Substitusikan persamaan ini pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{cases} (-1-3x)^2-2ax & = 0 \\ (1+6x+9x^2)-2ax & = 0 \\ \underbrace{9}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(6-2a)}_{b}x+\underbrace{1}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$.
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ (6-2a)^2-4(9)(1) & \geq 0 \\ 4(3-a)^2-4(9) & \geq 0 \\ (3-a)^2-9 & \geq 0 && (\text{bagi}~4) \\ (3-a)^2 & \geq 9 \\ 3-a \leq -3~\text{atau}~& 3-a \geq 3 \\ -a \leq -6~\text{atau}~& -a \geq 0 \\ a \geq 6~\text{atau}~& a \leq 0 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \leq 0~\text{atau}~a \geq 6}$
Diketahui $$\begin{cases} 3x+y & = -1 && (\cdots 1) \\ y^2-2ax & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = -1-3x$.
Substitusikan persamaan ini pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{cases} (-1-3x)^2-2ax & = 0 \\ (1+6x+9x^2)-2ax & = 0 \\ \underbrace{9}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(6-2a)}_{b}x+\underbrace{1}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$.
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ (6-2a)^2-4(9)(1) & \geq 0 \\ 4(3-a)^2-4(9) & \geq 0 \\ (3-a)^2-9 & \geq 0 && (\text{bagi}~4) \\ (3-a)^2 & \geq 9 \\ 3-a \leq -3~\text{atau}~& 3-a \geq 3 \\ -a \leq -6~\text{atau}~& -a \geq 0 \\ a \geq 6~\text{atau}~& a \leq 0 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \leq 0~\text{atau}~a \geq 6}$
Soal Nomor 5
Carilah nilai $m$ agar tiap SPLK berikut tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. $\begin{cases} y = x+m \\ x^2+4y^2-4 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} y = mx \\ x^2+y^2-8x-4y+16 = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y = x+m & (\cdots 1) \\ x^2 + 4y^2-4 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+4(x+m)^2-4 & = 0 \\ x^2+4(x^2+2mx+m^2)-4 & = 0 \\ 5x^2+8mx+(4m^2-4) & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (8m)^2-4(5)(4m^2-4) & = 0 \\ 64m^2-80m^2+80 & = 0 \\ -16m^2 + 80 & = 0 \\ -m^2 + 5 & = 0 && (\text{bagi}~16) \\ m^2 & = 5 \\ m & = \pm \sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = \sqrt5$ atau $m = -\sqrt5$.
Carilah nilai $m$ agar tiap SPLK berikut tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. $\begin{cases} y = x+m \\ x^2+4y^2-4 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} y = mx \\ x^2+y^2-8x-4y+16 = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y = x+m & (\cdots 1) \\ x^2 + 4y^2-4 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+4(x+m)^2-4 & = 0 \\ x^2+4(x^2+2mx+m^2)-4 & = 0 \\ 5x^2+8mx+(4m^2-4) & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (8m)^2-4(5)(4m^2-4) & = 0 \\ 64m^2-80m^2+80 & = 0 \\ -16m^2 + 80 & = 0 \\ -m^2 + 5 & = 0 && (\text{bagi}~16) \\ m^2 & = 5 \\ m & = \pm \sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = \sqrt5$ atau $m = -\sqrt5$.
Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} y = mx & (\cdots 1) \\ x^2 +y^2-8x-4y+16 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+(mx)^2-8x-4(mx)+16 & = 0 \\ (1+m^2)x^2+(-8-4m)x+16 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-8-4m)^2-4(1+m^2)(16) & = 0 \\ 16(2+m)^2-4(1+m^2)(16) & = 0 \\ (2+m)^2-4(1+m^2) & = 0 && (\text{bagi}~16) \\ 4+4m+m^2-4-4m^2 & = 0 \\ -3m^2+4m & = 0 \\ m(-3m + 4) & = 0 \\ m = 0~\text{atau}~m & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = 0$ atau $m = \dfrac43$.
Soal Nomor 6
Misalkan $p, q$ adalah bilangan real yang bukan nol. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini dengan menyatakannya dalam $p$ dan $q$.
a. $\begin{cases} px + qy = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} x+y = p+q \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} px + qy = 0 & (\cdots 1) \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis kembali menjadi $y = -\dfrac{px}{q}$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} p^2x^2 + pqx + q^2\color{red}{y}^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2\left(-\dfrac{px}{q}\right)^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + \cancel{q^2} \cdot \dfrac{p^2x^2}{\cancel{q^2}} & = 0 \\ 2p^2x^2 + pqx & = 0 \\ px(2px + q) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa kita telah memperoleh
$$\begin{aligned} px = 0 & \Rightarrow x = 0 \\ 2px + q = 0 & \Rightarrow x = -\dfrac{q}{2p} \end{aligned}$$Masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada persamaan $y = -\dfrac{px}{q}$. Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} x = 0 & \Rightarrow y = -\dfrac{p(0)}{q} = 0 \\ x = -\dfrac{q}{2p} & \Rightarrow y = -\dfrac{p}{q} \cdot \left(-\dfrac{q}{2p}\right) = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\left\{(0, 0), \left(-\dfrac{q}{2p}, \dfrac12\right)\right\}}$$Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} x+y = p+q & (\cdots 1) \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Kedua ruas pada persamaan $(1)$ dikuadratkan, dan kita akan peroleh
$$\begin{aligned} (x+y)^2 & = (p+q)^2 \\ x^2+2xy+y^2 & = p^2+2pq+q^2 \\ x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Sekarang, persamaan $(3)$ dikurangi persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq & = 0 \end{aligned} \\ \rule{7 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} xy-pq & = 0 \\ xy & = pq \end{aligned} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan
$$\begin{cases} x+y & = p+q && (\cdots 1) \\ xy & = pq && (\cdots 2) \end{cases}$$Dengan demikian, didapat dua penyelesaian, yaitu $(x, y) = (p, q)$ atau $(x, y) = (q, p)$.
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\{(p, q), (q, p)\}}$$
Soal Nomor 7
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut.
a. $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} 2x-y-3 = 0 \\ x^2-y^2 = 0 \end{cases}$
c. $\begin{cases} 3x-y-16 = 0 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} y = x + 1 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-25 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ disubstitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-25 & = 0 \\ x^2+(x+1)^2-25 & = 0 \\ x^2+(x^2+2x+1)-25 & = 0 \\ 2x^2 +2x-24 & = 0 \\ x^2+x-12 & = 0 \\ (x+4)(x-3) & = 0 \\ x = -4~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = -4$, maka diperoleh $y = -3$.
Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 4$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-4, -3), (3, 4)\}}$
Diketahui
$$\begin{cases} y = mx & (\cdots 1) \\ x^2 +y^2-8x-4y+16 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+(mx)^2-8x-4(mx)+16 & = 0 \\ (1+m^2)x^2+(-8-4m)x+16 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-8-4m)^2-4(1+m^2)(16) & = 0 \\ 16(2+m)^2-4(1+m^2)(16) & = 0 \\ (2+m)^2-4(1+m^2) & = 0 && (\text{bagi}~16) \\ 4+4m+m^2-4-4m^2 & = 0 \\ -3m^2+4m & = 0 \\ m(-3m + 4) & = 0 \\ m = 0~\text{atau}~m & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = 0$ atau $m = \dfrac43$.
Soal Nomor 6
Misalkan $p, q$ adalah bilangan real yang bukan nol. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini dengan menyatakannya dalam $p$ dan $q$.
a. $\begin{cases} px + qy = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} x+y = p+q \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} px + qy = 0 & (\cdots 1) \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis kembali menjadi $y = -\dfrac{px}{q}$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} p^2x^2 + pqx + q^2\color{red}{y}^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2\left(-\dfrac{px}{q}\right)^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + \cancel{q^2} \cdot \dfrac{p^2x^2}{\cancel{q^2}} & = 0 \\ 2p^2x^2 + pqx & = 0 \\ px(2px + q) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa kita telah memperoleh
$$\begin{aligned} px = 0 & \Rightarrow x = 0 \\ 2px + q = 0 & \Rightarrow x = -\dfrac{q}{2p} \end{aligned}$$Masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada persamaan $y = -\dfrac{px}{q}$. Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} x = 0 & \Rightarrow y = -\dfrac{p(0)}{q} = 0 \\ x = -\dfrac{q}{2p} & \Rightarrow y = -\dfrac{p}{q} \cdot \left(-\dfrac{q}{2p}\right) = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\left\{(0, 0), \left(-\dfrac{q}{2p}, \dfrac12\right)\right\}}$$Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} x+y = p+q & (\cdots 1) \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Kedua ruas pada persamaan $(1)$ dikuadratkan, dan kita akan peroleh
$$\begin{aligned} (x+y)^2 & = (p+q)^2 \\ x^2+2xy+y^2 & = p^2+2pq+q^2 \\ x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Sekarang, persamaan $(3)$ dikurangi persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq & = 0 \end{aligned} \\ \rule{7 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} xy-pq & = 0 \\ xy & = pq \end{aligned} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan
$$\begin{cases} x+y & = p+q && (\cdots 1) \\ xy & = pq && (\cdots 2) \end{cases}$$Dengan demikian, didapat dua penyelesaian, yaitu $(x, y) = (p, q)$ atau $(x, y) = (q, p)$.
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\{(p, q), (q, p)\}}$$
Soal Nomor 7
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut.
a. $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} 2x-y-3 = 0 \\ x^2-y^2 = 0 \end{cases}$
c. $\begin{cases} 3x-y-16 = 0 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 \end{cases}$
Pembahasan
Jawaban a)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} y = x + 1 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-25 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ disubstitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-25 & = 0 \\ x^2+(x+1)^2-25 & = 0 \\ x^2+(x^2+2x+1)-25 & = 0 \\ 2x^2 +2x-24 & = 0 \\ x^2+x-12 & = 0 \\ (x+4)(x-3) & = 0 \\ x = -4~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = -4$, maka diperoleh $y = -3$.
Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 4$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-4, -3), (3, 4)\}}$
Jawaban b)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 2x-y-3 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2-y^2 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = 2x-3$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2-\color{red}{y}^2 & = 0 \\ (x+\color{red}{y})(x-\color{red}{y}) & = 0 \\ (x+(2x-3))(x-(2x-3)) & = 0 \\ (3x-3)(-x+3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = 1$, maka diperoleh $y = -1$.
Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 3$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, -1), (3, 3)\}}$
Jawaban c)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 3x-y-16 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = 3x-16$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-6x+4\color{red}{y}-12 & = 0 \\ x^2 + (3x-16)^2-6x + 4(3x-16)-12 & = 0 \\ x^2 + (9x^2-96x+256)-6x + 12x-64-12 & = 0 \\ 10x^2-90x+180 & = 0 \\ x^2-9x+18 & = 0 && (\text{bagi}~10) \\ (x-3)(x-6) & = 0 \end{aligned}$$Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = -7$.
Jika $x = 6$, maka diperoleh $y = 2$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{3, -7), (6, 2)\}}$
Semoga pembahasan soal Soal dan Pembahasan SPLK ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang splk
Loading...