Topik Bahasan
Kode 624 2019,
UM UGM
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $
B). $ -\frac{\pi}{12} \, $
C). $ -\frac{\pi}{9} \, $
D). $ -\frac{\pi}{8} \, $
E). $ -\frac{\pi}{6} $
JAWABAN
Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right)- (-1).\sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ \end{align} $
Syarat : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) & = 0 \\ \frac{-1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } + \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } & = \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} \\ \sin ^2 (x+60^\circ) & = \cos ^2 (120^\circ - x ) \\ \cos ^2[ 90^\circ - (x+60^\circ) ] & = \sin ^2 [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ \cos ^2 (30^\circ - x) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) - \sin ^2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos 2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Turunan) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $
B). $ -\frac{\pi}{12} \, $
C). $ -\frac{\pi}{9} \, $
D). $ -\frac{\pi}{8} \, $
E). $ -\frac{\pi}{6} $
CATATAN
Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc ^2 g(x)) $
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
Rumus trigonometri dasar :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \cos A = \sin (90^\circ - A) \, $ dan $ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \cos (-A) = \cos A $
$ \cos ^2 A - \sin ^2 A = \cos 2A $
Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat
Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc ^2 g(x)) $
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
Rumus trigonometri dasar :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \cos A = \sin (90^\circ - A) \, $ dan $ \sin A = \cos (90^\circ - A) $
$ \cos (-A) = \cos A $
$ \cos ^2 A - \sin ^2 A = \cos 2A $
Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat
JAWABAN
Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right)- (-1).\sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ y^\prime & = -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) \\ \end{align} $
Syarat : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -\csc ^2 \left( x+ 60^\circ \right) + sec ^2 \left(120^\circ - x \right) & = 0 \\ \frac{-1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } + \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 (x+60^\circ) } & = \frac{1}{\cos ^2 (120^\circ - x )} \\ \sin ^2 (x+60^\circ) & = \cos ^2 (120^\circ - x ) \\ \cos ^2[ 90^\circ - (x+60^\circ) ] & = \sin ^2 [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ \cos ^2 (30^\circ - x) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) & = \sin ^2 (x - 30^\circ ) \\ \cos ^2 (x - 30^\circ ) - \sin ^2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos 2 (x - 30^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Turunan) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 624 2019, UM UGM
Loading...