Topik Bahasan
Kode 624 2019,
UM UGM
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $
B). $ \frac{5}{2} \, $
C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $
D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $
E). $ \frac{1}{2} \, $
JAWAB
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $.
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{a.1 + (a+1).1+ 2.1}{(\sqrt{1^2+1^2+1^2} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{a + a + 1+ 2 }{(\sqrt{3} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} \right) (1,1,1) & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} \right) & = (2,2,2) \end{align} $
diperoleh kesamaan :
$ \frac{2a + 3}{3} = 2 \rightarrow 2a + 3 = 6 \rightarrow a = \frac{3}{2} $
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . $
JAWABAN
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $. Artinya panjang proyeksinya sama saja dengan panjang vektor $ \vec{w} $ yaitu :
$ |\vec{w}| = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Panjang Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = |\vec{w}| \\ \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}| } \right| & = \vec{w} \\ \left| \frac{a.1 + (a+1).1 + 2.1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ \left| \frac{2a + 3}{\sqrt{3} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2\sqrt{3} . \sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2.3 \\ |2a + 3| & = 6 \\ 2a + 3 = 6 \vee 2a + 3 & = -6 \\ a = \frac{3}{2} \vee a & = \frac{-9}{2} \end{align} $
Gunakan yang positif dulu.
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Vektor) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $ , maka panjang vektor $ \vec{u} $ sama dengan ....
A). $ \frac{3}{2} \, $
B). $ \frac{5}{2} \, $
C). $ \frac{3}{2} \sqrt{2} \, $
D). $ \frac{5}{2}\sqrt{2} \, $
E). $ \frac{1}{2} \, $
Catatan
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
*). Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
-). Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
-). Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
JAWAB
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $.
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{(|\vec{v}|)^2} \right) \vec{v} & = \vec{w} \\ \left( \frac{a.1 + (a+1).1+ 2.1}{(\sqrt{1^2+1^2+1^2} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{a + a + 1+ 2 }{(\sqrt{3} )^2} \right) \vec{v} & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} \right) (1,1,1) & = (2,2,2) \\ \left( \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} , \frac{2a + 3}{3} \right) & = (2,2,2) \end{align} $
diperoleh kesamaan :
$ \frac{2a + 3}{3} = 2 \rightarrow 2a + 3 = 6 \rightarrow a = \frac{3}{2} $
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . $
Cara Lain
Catatan
Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
Panjang Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $
Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
Bentuk Mutlak :
$ |x|=k \rightarrow x = k \vee x = -k $
Terdapat vektor $ \vec{u}=(a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) $
Perkalian dot : $ \vec{u}.\vec{v}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 $
Panjang vektor $ \vec{v} $ yaitu :
Kali skalar : $ k\vec{u} = k(a_1, a_2, a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3) $
$ |\vec{v}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } $
Panjang Proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| $
Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
Bentuk Mutlak :
$ |x|=k \rightarrow x = k \vee x = -k $
JAWABAN
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u}=(a, a+1, 2) $ dan $ \vec{v}=(1,1,1) $. Jika vektor proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \vec{w}=(2,2,2) $. Artinya panjang proyeksinya sama saja dengan panjang vektor $ \vec{w} $ yaitu :
$ |\vec{w}| = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
*). Memproses hasil proyeksinya :
$\begin{align} \text{Panjang Proyeksi } \vec{u} \text{ pada } \vec{v} & = |\vec{w}| \\ \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}| } \right| & = \vec{w} \\ \left| \frac{a.1 + (a+1).1 + 2.1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ \left| \frac{2a + 3}{\sqrt{3} } \right| & = 2\sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2\sqrt{3} . \sqrt{3} \\ |2a + 3| & = 2.3 \\ |2a + 3| & = 6 \\ 2a + 3 = 6 \vee 2a + 3 & = -6 \\ a = \frac{3}{2} \vee a & = \frac{-9}{2} \end{align} $
Gunakan yang positif dulu.
Sehingga vektor $ \vec{u} $ menjadi :
$ \vec{u}=(a, a+1, 2) = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2}, 2 \right) $
Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$\begin{align} |\vec{u}| & = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4} \\ & = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{16}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{50}{4} } = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25\times 2}}{\sqrt{4}} \\ & = \frac{\sqrt{25}.\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{u} $ adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Vektor) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 624 2019, UM UGM
Loading...