Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Jika diketahui
$\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$
adalah matriks ortogonal,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{4}{9} \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Pembahasan:Sekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.
Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$.
Eksplorasi yang kita lakukan yaitu:
$\begin{align}
A^{-1} &= A^{T} \\ & \text{(*kalikan dengan matriks A)} \\ A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\ I & = A \times A^{T}
\end{align}$
Sehingga kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1
\end{bmatrix}$
dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left (pers. 1 \right )$
$\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left (pers. 2 \right )$
$\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left (pers. 3 \right )$
Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Matriks Ortogonal ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang matriks