-->

Contoh Soal dan Pembahasan Matriks Ortogonal

Topik Bahasan

 Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.

Jika diketahui
$\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$
adalah matriks ortogonal,

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{4}{9} \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Pembahasan:

Sekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$.

Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$.

Eksplorasi yang kita lakukan yaitu:
$\begin{align}
A^{-1} &= A^{T} \\ & \text{(*kalikan dengan matriks A)} \\ A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\ I & = A \times A^{T}
\end{align}$

Sehingga kita peroleh persamaan;
$\begin{bmatrix}
a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}
a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c
\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1
\end{bmatrix}$

dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left (pers. 1 \right )$
$\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left (pers. 2 \right )$
$\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left (pers. 3 \right )$

Apabila persamaan $\left (1 \right )$,$\left (2 \right )$, dan $\left (3 \right )$ kita jumlahkan,
maka akan kita peroleh persamaan berikut;
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...