-->

Contoh Soal dan Penyelesaian Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Topik Bahasan
Soal 1 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos2x-cos x- 2 = 0 pada interval 0 ≤ x ≤ 360!

Pembahasan
Misalkan cosx= a maka persamaanya dapat ditulis menjadi
a2 - a - 2 = 0
(a + 1)(a - 2) = 0
a = -1 atau a = 2
Jika p = -1, maka
cosx = -1
cosx = cos 180o
Untuk, x = 180o + k × 360o
k = 0 → x = 180o + 0 × 360o = 180o
Untuk, x = -1800o + k × 360o
k = 1 → x = -1800o+ 1 × 360o= 180o

Untuk  a = -2, maka tidak digunakan karena nilai sin/cos terbatas antara -1 sampai 1.
Jadi, penyelesaiannya adalah {180o}

Soal 2 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - 3sin x - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360o!

Jawab
cos 2x - 3sin x - 1 = 0
Gunakan:
cos 2x= 1-2sin2x
1 - 2sin x - 3sin x - 1 = 0
- 2sin2x - 3sin x = 0
- sin x (2sin x + 3) = 0
(tak usah dimisalkan dengan sinx=p, karena anda bisa menfaktorkan langsung)

-sin x = 0 atau  2sin x + 3 = 0

sin x = 0            sin x = 3/2(tidak digunakan karena rentang nilai sin dari -1 sampai 1)

Jika, sin x = 0  maka sin x = 0

Untuk, x = 0o + k × 360o
k = 0 → x = 0o + 0 × 360o = 0o
k = 1  → x = 0o + 1 × 360o = 360o
Untuk, x = (180o - 0o) + k × 360o
k = 0 → x =(180o- 0o) + 0 × 360o= 180o
HP = {0o, 180o, 360o}

Soal 3 Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2 cos22x+2sin2x - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 𝞹!

Jawab:
2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - (1 - 2sin$^2$ x$^o$) = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0
cos 2x$^o$(2cos 2x$^o$ - 1) = 0
cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$

Faktor I
Jika cos 2x$^o$ = 0
 cos 2x$^o$ = cos $ \frac{𝞹}{2}$

Untuk 2x = $\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{4}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{4}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{3𝞹}{4}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{4}$ (tidak digunakan lagi karena sudah diluar interval.

Faktor 2
Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$
 cos 2x$^o$ = cos $\frac{𝞹}{3}$

Penyelesaian 1
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{6}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{6}$  (tidak digunakan lagi karena sudah diluar interval.

Penyelesaian 2
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{6}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{11𝞹}{6}$ (tidak digunakan lagi karena sudah diluar interval.

HP= {$\frac{𝞹}{6}$, $\frac{𝞹}{4}$, $\frac{3𝞹}{4}$, $\frac{5𝞹}{6}$}

Soal 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x + cot x = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360o!

Jawaban:
tan x + cot x = -2
tan x + $\frac{1}{tan x}$ = -2
tan2 x+ 1 = -2tan x
tan2 x + 2tan x + 1 = 0
(tan x + 1)2  = 0
tan x+ 1 = 0
tan x= -1
tan x = 135o
x =  135o + k × 180o
k = 0 → x = 135$^o$ + 0 × 180$^o$ = 135o
k = 1  → x = 135$^o$ + 1 × 180$^o$ = 315o
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {135o, 315o}
.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...