Topik Bahasan
integral
Sebelumnya silakan baca bunyi teorema dasar kalkulus.
Soal 1: $ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt $
$ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt $
Fungsi $ f(t) = 3t^2 - t + 6 \ $ sehingga $ f(x) = 3x^2 - x + 6 $
Jadi $ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt = 3x^2 - x + 6 $
Soal 2: $ \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx $
$ \begin{align} \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx & = [\frac{3}{2+1}x^{2+1} + \frac{2}{1+1}x^{1+1} - x ]_1^3 \\ & = [ x^3 + x^2 - x ]_1^3 \\ & = [ 3^3 + 3^2 - 3 ] - [ 1^3 + 1^2 - 1 ] \\ & = [ 27 + 9 - 3 ] - [ 1 + 1 - 1 ] \\ & = [ 33 ] - [ 1 ] \\ & = 32 \end{align} $
Jadi $ \, \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx = 32 $
Soal 3: Nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} $
Penyelesaian :
Substitusi x=0
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \frac{\int \limits_0^0 \sin t^3 dt}{0^4} = \frac{0}{0} $
Karena diperoleh hasil $ \frac{0}{0} \, $ (bentuk tak tentu),lanjutkan dengan dalil L'Hospital (turunan).
Turunan,
pembilang : $ y = \int \limits_0^x \sin t^3 dt \rightarrow y^\prime = \frac{d}{dx} \int \limits_0^x \sin t^3 dt = \sin x^3 \, $ (TFK I).
Penyebut : $ y = x^4 \rightarrow y^\prime = 4x^3 $.
Limit tersebut akan jadi :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x^3}{4x^3} = \frac{\sin 0^3}{4.0^3} = \frac{0}{0} $
Masih saja $ \frac{0}{0} \, $ lanjutkan lagi dalil L'Hospital :
Turunan :
pembilang : $ y = \int \limits_0^x \sin t^3 dt \rightarrow y^\prime = \frac{d}{dx} \int \limits_0^x \sin t^3 dt = \sin x^3 \, $ (TFK I).
Penyebut : $ y = x^4 \rightarrow y^\prime = 4x^3 $.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x^3}{4x^3} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ 3x^2 \cos x^3}{12x^2} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \cos x^3}{4} = \frac{ \cos 0^3}{4} = \frac{1}{4} $
Jadi $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \frac{1}{4} $.
Semoga pembahasan soal Contoh Penerapan Teorema Dasar Kalkulus ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal 1: $ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt $
$ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt $
Fungsi $ f(t) = 3t^2 - t + 6 \ $ sehingga $ f(x) = 3x^2 - x + 6 $
Jadi $ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt = 3x^2 - x + 6 $
Soal 2: $ \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx $
$ \begin{align} \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx & = [\frac{3}{2+1}x^{2+1} + \frac{2}{1+1}x^{1+1} - x ]_1^3 \\ & = [ x^3 + x^2 - x ]_1^3 \\ & = [ 3^3 + 3^2 - 3 ] - [ 1^3 + 1^2 - 1 ] \\ & = [ 27 + 9 - 3 ] - [ 1 + 1 - 1 ] \\ & = [ 33 ] - [ 1 ] \\ & = 32 \end{align} $
Jadi $ \, \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx = 32 $
Soal 3: Nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} $
Penyelesaian :
Substitusi x=0
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \frac{\int \limits_0^0 \sin t^3 dt}{0^4} = \frac{0}{0} $
Karena diperoleh hasil $ \frac{0}{0} \, $ (bentuk tak tentu),lanjutkan dengan dalil L'Hospital (turunan).
Turunan,
pembilang : $ y = \int \limits_0^x \sin t^3 dt \rightarrow y^\prime = \frac{d}{dx} \int \limits_0^x \sin t^3 dt = \sin x^3 \, $ (TFK I).
Penyebut : $ y = x^4 \rightarrow y^\prime = 4x^3 $.
Limit tersebut akan jadi :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x^3}{4x^3} = \frac{\sin 0^3}{4.0^3} = \frac{0}{0} $
Masih saja $ \frac{0}{0} \, $ lanjutkan lagi dalil L'Hospital :
Turunan :
pembilang : $ y = \int \limits_0^x \sin t^3 dt \rightarrow y^\prime = \frac{d}{dx} \int \limits_0^x \sin t^3 dt = \sin x^3 \, $ (TFK I).
Penyebut : $ y = x^4 \rightarrow y^\prime = 4x^3 $.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x^3}{4x^3} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ 3x^2 \cos x^3}{12x^2} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \cos x^3}{4} = \frac{ \cos 0^3}{4} = \frac{1}{4} $
Jadi $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \frac{1}{4} $.
Semoga pembahasan soal Contoh Penerapan Teorema Dasar Kalkulus ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang integral
Loading...