-->

Contoh Penerapan Teorema Dasar Kalkulus

Topik Bahasan
Sebelumnya silakan baca bunyi teorema dasar kalkulus.
Soal 1: $ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt $
$ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt $
Fungsi $ f(t) = 3t^2 - t + 6 \ $ sehingga $ f(x) = 3x^2 - x + 6 $
Jadi $ \frac{d}{dx} \int \limits_1^x (3t^2 - t + 6) dt = 3x^2 - x + 6 $

Soal 2: $ \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx $
$ \begin{align} \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx & = [\frac{3}{2+1}x^{2+1} + \frac{2}{1+1}x^{1+1} - x ]_1^3 \\ & = [ x^3 + x^2 - x ]_1^3 \\ & = [ 3^3 + 3^2 - 3 ] - [ 1^3 + 1^2 - 1 ] \\ & = [ 27 + 9 - 3 ] - [ 1 + 1 - 1 ] \\ & = [ 33 ] - [ 1 ] \\ & = 32 \end{align} $
Jadi $ \, \int \limits_1^3 (3x^2 +2x - 1) dx = 32 $

Soal 3: Nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} $

Penyelesaian :
Substitusi x=0
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \frac{\int \limits_0^0 \sin t^3 dt}{0^4} = \frac{0}{0} $

Karena diperoleh hasil $ \frac{0}{0} \, $ (bentuk tak tentu),lanjutkan dengan dalil L'Hospital (turunan).
Turunan,
pembilang : $ y = \int \limits_0^x \sin t^3 dt \rightarrow y^\prime = \frac{d}{dx} \int \limits_0^x \sin t^3 dt = \sin x^3 \, $ (TFK I).
Penyebut : $ y = x^4 \rightarrow y^\prime = 4x^3 $.

Limit tersebut akan jadi :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x^3}{4x^3} = \frac{\sin 0^3}{4.0^3} = \frac{0}{0} $

Masih saja $ \frac{0}{0} \, $ lanjutkan lagi dalil L'Hospital :
Turunan :
pembilang : $ y = \int \limits_0^x \sin t^3 dt \rightarrow y^\prime = \frac{d}{dx} \int \limits_0^x \sin t^3 dt = \sin x^3 \, $ (TFK I).
Penyebut : $ y = x^4 \rightarrow y^\prime = 4x^3 $.

$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x^3}{4x^3} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ 3x^2 \cos x^3}{12x^2} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \cos x^3}{4} = \frac{ \cos 0^3}{4} = \frac{1}{4} $
Jadi  $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int \limits_0^x \sin t^3 dt}{x^4} = \frac{1}{4} $.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...