Topik Bahasan
integral
Tentang bagaimana cara memecah fungsi, anda sebaiknya membaca: di: Fungsi Pecah. Berikut untuk integral fungsi pecah juga kembali harus diingat,
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Pecah ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Rumus dasar integral dan sifat logartima natural (ln) yang harus anda kembali ingat,
$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $
$ \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c $
Juga anda ingat kembali sifat logarima yang diterapkan pada logaritma natural (ln).
$ \ln a + \ln b = \ln (a.b) $
$ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $
Contoh 1: $ \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx = ...$
$ \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) dx $
Pemecahan Fungsi
Faktorkan Penyebut:
$ x^2 - 3x = x(x-3) $.
Bagi menjadi dua bagian,
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{2x + 1}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ & = \frac{A(x-3) + Bx}{x(x-3)} \\ & = \frac{Ax - 3A + Bx}{x(x-3)} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{(A+B)x - 3A }{x(x-3)} \\ 2x + 1 & = (A+B)x - 3A \end{align} $
Tentukan nilai A dan B melalui kesamaan
$ 2x + 1 = (A+B)x - 3A $,
$ -3A = 1 \rightarrow A = -\frac{1}{3} $
$ A + B = 2 \rightarrow -\frac{1}{3} + B = 2 \rightarrow B = \frac{7}{2} $
Jadi bentuk pemecahannya,
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{-\frac{1}{3}}{x} + \frac{\frac{7}{2}}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
Bisa ditulis,
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
Faktorkan Penyebut:
$ x^2 - 3x = x(x-3) $.
Bagi menjadi dua bagian,
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{2x + 1}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ & = \frac{A(x-3) + Bx}{x(x-3)} \\ & = \frac{Ax - 3A + Bx}{x(x-3)} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{(A+B)x - 3A }{x(x-3)} \\ 2x + 1 & = (A+B)x - 3A \end{align} $
Tentukan nilai A dan B melalui kesamaan
$ 2x + 1 = (A+B)x - 3A $,
$ -3A = 1 \rightarrow A = -\frac{1}{3} $
$ A + B = 2 \rightarrow -\frac{1}{3} + B = 2 \rightarrow B = \frac{7}{2} $
Jadi bentuk pemecahannya,
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{-\frac{1}{3}}{x} + \frac{\frac{7}{2}}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
Bisa ditulis,
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
Integralkan:
$ \begin{align} \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{-2}{x} dx + \int \frac{21}{x-3} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( -2 \ln x + 21 \ln (x-3) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln x^{-2} + \ln (x-3)^{21} \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln \frac{1}{x^2} + \ln (x-3)^{21} \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (\frac{1}{x^2} (x-3)^{21} ) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{(x-3)^{21}}{x^2} \right) + c \end{align} $
Jadi,$ \begin{align} \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx & = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{(x-3)^{21}}{x^2} \right) + c \end{align} $
Contoh 2: Tentukan hasil dari integral $ \int \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } dx $
Penyelesaian :
Lakukan pemecahan fungsi:
$ \begin{align} \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \\ & = \frac{A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \\ & = \frac{A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \\ & = \frac{ Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - B + Cx+C}{(x+1)(x-1)^2} \\ \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{ (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) }{(x+1)(x-1)^2} \\ 3x^2 - x & = (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) \end{align} $
Tentukan nilai A,B dan C dengan kesamaan,
$ 3x^2 - x = (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) $,
$ A + B = 3 \rightarrow B = 3 - A \, $ ....pers(i)
$ C - 2A = -1 \rightarrow C = 2A - 1 \, $ ....pers(ii)
$ A - B + C = 0 \, $ ....pers(iii)
Masukkan pers(i) dan (ii) ke pers(iii)
$ \begin{align} A - B + C & = 0 \\ A - (3 - A) + (2A - 1) & = 0 \\ 4A - 4 & = 0 \\ A & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ B = 3 - A = 3 - 1 = 2 $
Pers(ii) : $ C = 2A - 1 = 2.1 - 1 = 1 $
Ditemukan bentuk pecahan :
$ \begin{align} \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \\ \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{1}{x+1} + \frac{2 }{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \end{align} $
Lanjutkan dengan mengintegralkan:
$ \begin{align} \int \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } dx & = \int \frac{1}{x+1} + \frac{2 }{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} dx \\ & = \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{2 }{x-1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2} dx \\ & = \ln (x+1) + 2 \ln (x-1) + \int (x-1)^{-2} dx \\ & = \ln (x+1) + \ln (x-1)^2 + \frac{1}{-2+1} (x-1)^{-2+1} + c \\ & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] + \frac{1}{-1} (x-1)^{-1} + c \\ & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] - \frac{1}{(x-1)} + c \end{align} $
Jadi, $ \begin{align} \int \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } dx & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] - \frac{1}{(x-1)} + c \end{align} $
.
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Integral Fungsi Pecah ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang integral
Loading...