-->

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial

Topik Bahasan

Tentukanlah Hasil dari integral $ \int x^2 \cos 2x dx \, $ adalah ?

Pembahasan:
Jika anda belum memiliki dasar konsep penyelesaian integral secara parsial, anda harus baca terlebih dahulu:
Langkah dan Cara Menyelesaikan Integral dengan Teknik Integral Parsial
Terdapat fungsi $ x^2 \, $ dan $ \cos 2x $,
Misalkan $ u = x^2 \, $ pada turunan ke u"' akan ditemukan nol

Menggunakan rumus dan menyederhanakan:
$ u = x^2 \rightarrow \frac{du}{dx} = 2x \rightarrow du = 2xdx $.
$ dv = \cos 2x dx $ , maka nilai $ v $ :
$ \begin{align} dv = \cos 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \cos 2x dx \\ v & = \frac{1}{2} \sin 2x \end{align} $
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x^2. \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x . 2x dx \\ \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $

Lalu untuk bentuk $ \int x \sin 2x dx \, $ lakukan parsial lagi.
FUngsi yang ada $ x \, $ dan $ \sin 2x $,
Misalkan $ u = x \, $ karena turunan ke-dua akan nol
Gunakan Rumus dan sederhanakan:
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sin 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \sin 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \sin 2x dx \\ v & = -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align} $
$ \int x \sin 2x dx \, $
$ \begin{align} \int x \sin 2x dx & = uv - \int vdu \\ & = x . (-\frac{1}{2} \cos 2x - \int (-\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \int (\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
Hasil dari: $ \int x \sin 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x $

Kembali pada hasil pertama dan subtitusikan hasil ke-dua ini:
$ \begin{align} \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x ) \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x  - \frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c \end{align} $
Maka hasil akhirnya $ \int x^2 \cos 2x dx = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c $.

Sebenarnya akan lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan integral parsial tanjalin. Anda bisa baca di: Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial Tanjalin..

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...