Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Topik Bahasan lingkaran

Bukti I

Diketahui: Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$

Akan dibuktikan
Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align}$

Bukti :
i. Misal  persamaan garis singgungnya : $y = mx + n$
ii. Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $x^2 + y^2 = r^2$
$\begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 - r^2 \end{align}$
iii. Syarat garis menyinggung lingkaran : $D = 0$
$\begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 - 4.(m^2 + 1) . (n^2 - r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 - 4(n^2 + m^2n^2 - r^2 - m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 - n^2 - m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align}$
*). Substitusi nilai $n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \,$ ke garis :
$\begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align}$
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2}$

Bukti 2

Diketahui Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \,$ atau $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Akan dibuktikan
Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align}$

Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $y = mx + n$
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 - r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) - 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) - 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 - r^2 \end{align}$
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $D = 0$
$\begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) - 2a ]^2 - 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 - r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b - am - n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b - am - n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align}$
*). Substitusi nilai $n = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \,$ ke garis :
$\begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align}$
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2}$
Baca juga: Penurunan-Pembuktian Rumus Garis Singgung Lingkaran pada Suatu Titik.

Semoga pembahasan soal Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.

Cari Soal dan Pembahasan tentang lingkaran

Soal Terkait:

• Contoh Soal-Pembahasan Kedudukan 2 Lingkaran
• Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran pada 1 titik
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran I
• Soal-Pembahasan Titik Potong/Singgung 2 Lingkaran
• Menentukan PGS Lingkaran, Diketahui Gradien

Loading...