Topik Bahasan
Kode 624 2019,
UM UGM
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $
B). $ \sqrt{2} \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 2\sqrt{2} \, $
E). $ 4 \, $
Jawab
Mengubah bentuk trigonometrinya :
$\begin{align} 1 - \cos 4 x^2 & = 2\sin ^2 \frac{4}{2} x^2 \\ & = 2 \sin ^2 2x^2 \\ 1 - \cos 2x & = 2\sin ^2 \frac{2}{2} x \\ & = 2\sin ^2 x \end{align} $
Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2 \sin ^2 2x^2}}{2\sin ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sqrt{ \sin ^2 2x^2}}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \times \frac{x^2}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{ \sin 2x^2}{x^2} . \frac{x}{\sin x}. \frac{x}{\sin x} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{2}{1} . \frac{1}{1}. \frac{1}{1} \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . $
Jawab
Penyelesaian limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(4x^2)^2}}{\frac{1}{2}(2x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}. 16x^4}}{\frac{1}{2}. 4x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8}. \sqrt{x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2}.x^2}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Limit) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = .... $
A). $ 1 \, $
B). $ \sqrt{2} \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 2\sqrt{2} \, $
E). $ 4 \, $
Cara I
Catatan
Untuk menyelesaikan soal limit bentuk tak tentu ($ \frac{0}{0}$) khusus fungsi trigonometri yaitu dengan menggunakan sifat limit fungsi trigonometri :
Sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin a x}{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ a x}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Rumus dasar trigonometri :
$ \cos p A = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} A $
atau
$ 1 - \cos p A = 2 \sin ^2 \frac{p}{2} A $
Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
Untuk menyelesaikan soal limit bentuk tak tentu ($ \frac{0}{0}$) khusus fungsi trigonometri yaitu dengan menggunakan sifat limit fungsi trigonometri :
Sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin a x}{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ a x}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Rumus dasar trigonometri :
$ \cos p A = 1 - 2\sin ^2 \frac{p}{2} A $
atau
$ 1 - \cos p A = 2 \sin ^2 \frac{p}{2} A $
Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
Jawab
Mengubah bentuk trigonometrinya :
$\begin{align} 1 - \cos 4 x^2 & = 2\sin ^2 \frac{4}{2} x^2 \\ & = 2 \sin ^2 2x^2 \\ 1 - \cos 2x & = 2\sin ^2 \frac{2}{2} x \\ & = 2\sin ^2 x \end{align} $
Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2 \sin ^2 2x^2}}{2\sin ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sqrt{ \sin ^2 2x^2}}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}. \sin 2x^2}{2\sin x \sin x} \times \frac{x^2}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{ \sin 2x^2}{x^2} . \frac{x}{\sin x}. \frac{x}{\sin x} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{2}{1} . \frac{1}{1}. \frac{1}{1} \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . $
Cara 2
Catatan
*). Rumus Cepat untuk bentuk limit trigonometri :
$ 1 - cos B = \frac{1}{2}B^2 $
dengan syarat nilai $ B = 0 $ ketika disubstitusi nilai $ x $ nya.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
*). Rumus Cepat untuk bentuk limit trigonometri :
$ 1 - cos B = \frac{1}{2}B^2 $
dengan syarat nilai $ B = 0 $ ketika disubstitusi nilai $ x $ nya.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
Jawab
Penyelesaian limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(4x^2)^2}}{\frac{1}{2}(2x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}. 16x^4}}{\frac{1}{2}. 4x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{8}. \sqrt{x^4}}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2}.x^2}{2x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \frac{2\sqrt{2} }{2 } \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-\cos 4x^2}}{1-\cos 2x} = \sqrt{2} . $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Limit) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 624 2019, UM UGM
Loading...