Topik Bahasan
Kode 624 2019,
UM UGM
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $
B). $ 32\frac{5}{8} \, $
C). $ 32 \, $
D). $ 24\frac{5}{8} \, $
E). $ 24 \, $
Jawab
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Artinya $ u_3 = a $ , $ u_4 = \frac{1}{a} $ , dan $ u_5 = \frac{1}{a^2+2a} $. Karena $ r \neq 1 $ , maka nilai satu suku dengan suku lainnya yang berurutan tidak boleh sama.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ u_4.u_4 & = u_3.u_5 \\ \frac{1}{a}.\frac{1}{a} & = a. \frac{1}{a^2+2a} \\ \frac{1}{a^2} & = a. \frac{1}{a(a+2)} \\ \frac{1}{a^2} & = \frac{1}{(a+2)} \\ a^2 & = a + 2 \\ a^2 - a - 2 & = 0 \\ (a +1)(a-2) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align} $
Untuk $ a = -1 $ , kita peroleh :
$ u_3 = a = -1 $ , $ u_4 = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $
Karena $ u_3 = u_4 $ maka $ r = 1 $ , padahal disoal tidak boleh $ r = 1 $ , sehingga $ a = -1 $ tidak memenuhi.
Untuk $ a = 2 $
$ u_3 = a \rightarrow kr^2 = 2 \rightarrow k = \frac{2}{r^2} \, $ ....(i)
$ u_4 = \frac{1}{a} \rightarrow kr^3 = \frac{1}{2} \, $ .... (ii)
Menentukan hasil kali 5 suku pertama :
$\begin{align} & u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 \\ & = k.kr.kr^2.kr^3.kr^4 \\ & = k^5. r^{10} \\ & = (kr^2)^5 \\ & = (u_3)^5 \\ & = 2^5 = 32 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 32 . $
Catatan :
Kita juga boleh menentukan nilai $ k $ dan $ r $ dengan menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), kemudian substitusikan ke soal yang ditanyakan. .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Barisan Geometri) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah .....
A). $ 42\frac{5}{8} \, $
B). $ 32\frac{5}{8} \, $
C). $ 32 \, $
D). $ 24\frac{5}{8} \, $
E). $ 24 \, $
Catatan
Ciri-ciri barisan geometri yaitu perbandingan sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = k.r^{n-1} $
Keterangan :
$ k = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Catatan :
Sebenarnya rumusnya $ u_n = a.r^{n-1} $ , namun pada soal ini ternyata $ a $ sebagai suku ketiga, sehingga agar tidak membingungkan, maka kita ganti saja simbol suku pertama dengan $ k $ .
$ u_3 = kr^2 , u_4 = kr^3 $ , dan $ u_5 = kr^4 $
Ciri-ciri barisan geometri yaitu perbandingan sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = k.r^{n-1} $
Keterangan :
$ k = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ r = \, $ rasio
$ r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3} = .... $
Catatan :
Sebenarnya rumusnya $ u_n = a.r^{n-1} $ , namun pada soal ini ternyata $ a $ sebagai suku ketiga, sehingga agar tidak membingungkan, maka kita ganti saja simbol suku pertama dengan $ k $ .
$ u_3 = kr^2 , u_4 = kr^3 $ , dan $ u_5 = kr^4 $
Jawab
Diketahui $ a, \frac{1}{a} , \frac{1}{a^2+2a} , \, a \neq 0 $ , berturut-turut merupakan suku ke-3, 4, dan ke-5 barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $. Artinya $ u_3 = a $ , $ u_4 = \frac{1}{a} $ , dan $ u_5 = \frac{1}{a^2+2a} $. Karena $ r \neq 1 $ , maka nilai satu suku dengan suku lainnya yang berurutan tidak boleh sama.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ u_4.u_4 & = u_3.u_5 \\ \frac{1}{a}.\frac{1}{a} & = a. \frac{1}{a^2+2a} \\ \frac{1}{a^2} & = a. \frac{1}{a(a+2)} \\ \frac{1}{a^2} & = \frac{1}{(a+2)} \\ a^2 & = a + 2 \\ a^2 - a - 2 & = 0 \\ (a +1)(a-2) & = 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align} $
Untuk $ a = -1 $ , kita peroleh :
$ u_3 = a = -1 $ , $ u_4 = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1 $
Karena $ u_3 = u_4 $ maka $ r = 1 $ , padahal disoal tidak boleh $ r = 1 $ , sehingga $ a = -1 $ tidak memenuhi.
Untuk $ a = 2 $
$ u_3 = a \rightarrow kr^2 = 2 \rightarrow k = \frac{2}{r^2} \, $ ....(i)
$ u_4 = \frac{1}{a} \rightarrow kr^3 = \frac{1}{2} \, $ .... (ii)
Menentukan hasil kali 5 suku pertama :
$\begin{align} & u_1.u_2.u_3.u_4.u_5 \\ & = k.kr.kr^2.kr^3.kr^4 \\ & = k^5. r^{10} \\ & = (kr^2)^5 \\ & = (u_3)^5 \\ & = 2^5 = 32 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 32 . $
Catatan :
Kita juga boleh menentukan nilai $ k $ dan $ r $ dengan menyelesaikan pers(i) dan pers(ii), kemudian substitusikan ke soal yang ditanyakan. .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Barisan Geometri) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 624 2019, UM UGM
Loading...