Topik Bahasan
integral
Sebelum memahami bagaimana contoh soal ini, akan lebih baik anda paham beberapa dasar dari integral subtitusi trigonometri fungsi khusus ini pada artikel: Cara Integral Trigonometri dengan Subtitusi.
Q1) Hasil dari integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?
Penyelesaian:
Bentuknya adalah $ \sqrt{4-9x^2} = \sqrt{2^2-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{2}{3} \sin t $.
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{2} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{3}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^2 t } \\ & = \sqrt{4(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{4\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \end{align} $.
Menggunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } $
Subtitusi/Ganti variabel x dengan permisalan $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^2}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{9} \sin ^2 t }{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \sin ^2 t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{1}{2} \frac{3x}{2} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi dari Soal akan diperoleh hasil: $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $
Q2) Tentukanlah hasil dari integral $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Fungsi diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} 8 + 2x - x^2 & = 9 - 1 + 2x - x^2 \\ & = 9 - (1 - 2x + x^2) \\ & = 9 - (x-1)^2 \end{align} $
Dari Bentuk $ 9 - (x-1)^2 , \, $ substitusikan $ x - 1 = 3 \sin t $.
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-1}{3} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) $
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{8 + 2x - x^2 }& = c = \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 - 9\sin^2 t } \\ & = \sqrt{9(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{9\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.
Menggunakan Rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{x-1}{3} )^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } $
Varibale x diubah dalam t $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx & = \int \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } dx \\ & = \int 3 \cos t . 3 \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = 9 ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{2} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{x-1}{3} . \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil akhir: $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c $ ..
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Subtitusi Trigonometri ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Sebelum memahami bagaimana contoh soal ini, akan lebih baik anda paham beberapa dasar dari integral subtitusi trigonometri fungsi khusus ini pada artikel: Cara Integral Trigonometri dengan Subtitusi.
Q1) Hasil dari integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?
Penyelesaian:
Bentuknya adalah $ \sqrt{4-9x^2} = \sqrt{2^2-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{2}{3} \sin t $.
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{2} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{3}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^2 t } \\ & = \sqrt{4(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{4\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \end{align} $.
Menggunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } $
Subtitusi/Ganti variabel x dengan permisalan $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^2}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{9} \sin ^2 t }{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \sin ^2 t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{1}{2} \frac{3x}{2} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi dari Soal akan diperoleh hasil: $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $
Q2) Tentukanlah hasil dari integral $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Fungsi diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} 8 + 2x - x^2 & = 9 - 1 + 2x - x^2 \\ & = 9 - (1 - 2x + x^2) \\ & = 9 - (x-1)^2 \end{align} $
Dari Bentuk $ 9 - (x-1)^2 , \, $ substitusikan $ x - 1 = 3 \sin t $.
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-1}{3} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) $
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{8 + 2x - x^2 }& = c = \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 - 9\sin^2 t } \\ & = \sqrt{9(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{9\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.
Menggunakan Rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{x-1}{3} )^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } $
Varibale x diubah dalam t $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx & = \int \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } dx \\ & = \int 3 \cos t . 3 \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = 9 ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{2} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{x-1}{3} . \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil akhir: $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c $ ..
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Subtitusi Trigonometri ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang integral
Loading...