Topik Bahasan
turunan
Soal 1: Bentuklah persamaan diferensial dari: $ y = A \sin x + B \cos x$
Jawab:
Ingat bahwa
$ \boxed{\begin{aligned}&\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\sin x = \cos x \\ & \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\cos x = -\sin x \end{aligned}}$
$ y = A \sin x + B \cos x$
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = A \cos x - B \sin x$
Turunkan sekali lagi terhadap x, diperoleh
$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} & = -A \sin x - B \cos x \\ & = -(A \sin x + B \cos x) = -y \end{aligned}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$ \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0$
Jadi, bentuk persamaan diferensial y = A sin x + B cos x adalah $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0$
Soal 2: Bentuklah persamaan diferensial dari y = x + $\dfrac{A}{x}$
Jawab:
Diberikan
$y = x + \dfrac{A}{x}$
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 - \dfrac{A}{x^2} \bigstar$
Karena $y = x + \dfrac{A}{x}$, maka dengan mengubah A sebagai subjek persamaan, diperoleh
A = x(y - x)
Substitusikan A ini ke \bigstar, didapat
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 - \dfrac{x(y-x)}{x^2} = 1 - \dfrac{y-x}{x} =\dfrac{2x-y}{x}$
Jadi, bentuk persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{2x-y}{x}} atau \boxed{x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x - y}$
Soal 3: Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung $y = Ce^{-4x} $ dengan C adalah konstanta sembarang.
Jawab:
Rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan u menyatakan fungsi dalam variabel bebas x.
$ \boxed{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}e^u = u'e^u}$
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $y = Ce^{-4x}$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4Ce^{-4x}$
Dari persamaan 1:$ C = \dfrac{y}{e^{-4x}}$, substitusikan C ke persamaan 2 untuk mendapatkan
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4\dfrac{y}{e^{-4x}}e^{-4x} = -4y$
$ \boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0$
Soal 3: Tentukan persamaan diferensial dari $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ dengan A,B,C masing-masing merupakan konstanta sembarang
Jawab:
Persamaan 1: $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C $
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3x^2 + 2Ax + B$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = 6x + 2A$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 4: $\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} = 6$
Jadi, persamaan diferensial : $ \boxed{\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} - 6 = 0}$
Soal 4: Carilah persamaan diferensial dari berkas kardioida $r = a(1 - \cos \theta)$ dengan a adalah konstanta sembarang.
Jawab:
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $ r = a(1 - \cos \theta)$
Turunkan r terhadap $ \theta$, diperoleh
Persamaan 2:$ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = a \sin \theta$
Substitusikan$ a = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}$ dari persamaan 1 ke persamaan 2,
$ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}\times \sin \theta
\boxed{(1 - \cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} = r \sin \theta}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
$(1 - \cos \theta)\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = r \sin \theta$
Soal 5: Carilah persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari tetap yang berpusat pada sumbu x dengan persamaannya
$(x-c)^2 + y^2 = r^2 $di mana c adalah suatu konstanta.
Jawab:
Karena ada 1 konstanta sembarang, maka diperlukan dua persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $(x-c)^2 + y^2 = r^2$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $ 2(x-c) + 2y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$
Dari persamaan 2, diperoleh $x - c = -y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Substitusikan ke persamaan 1 sehingga diperoleh
$\left(-y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
$y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
Jadi, persamaan diferensial adalah
$\boxed{y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2}$.
Semoga pembahasan soal Contoh Soal Cara Membentuk Persamaan Diferensial ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal 1: Bentuklah persamaan diferensial dari: $ y = A \sin x + B \cos x$
Jawab:
Ingat bahwa
$ \boxed{\begin{aligned}&\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\sin x = \cos x \\ & \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\cos x = -\sin x \end{aligned}}$
$ y = A \sin x + B \cos x$
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = A \cos x - B \sin x$
Turunkan sekali lagi terhadap x, diperoleh
$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} & = -A \sin x - B \cos x \\ & = -(A \sin x + B \cos x) = -y \end{aligned}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$ \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0$
Jadi, bentuk persamaan diferensial y = A sin x + B cos x adalah $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0$
Soal 2: Bentuklah persamaan diferensial dari y = x + $\dfrac{A}{x}$
Jawab:
Diberikan
$y = x + \dfrac{A}{x}$
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 - \dfrac{A}{x^2} \bigstar$
Karena $y = x + \dfrac{A}{x}$, maka dengan mengubah A sebagai subjek persamaan, diperoleh
A = x(y - x)
Substitusikan A ini ke \bigstar, didapat
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 - \dfrac{x(y-x)}{x^2} = 1 - \dfrac{y-x}{x} =\dfrac{2x-y}{x}$
Jadi, bentuk persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{2x-y}{x}} atau \boxed{x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x - y}$
Soal 3: Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung $y = Ce^{-4x} $ dengan C adalah konstanta sembarang.
Jawab:
Rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan u menyatakan fungsi dalam variabel bebas x.
$ \boxed{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}e^u = u'e^u}$
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $y = Ce^{-4x}$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4Ce^{-4x}$
Dari persamaan 1:$ C = \dfrac{y}{e^{-4x}}$, substitusikan C ke persamaan 2 untuk mendapatkan
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4\dfrac{y}{e^{-4x}}e^{-4x} = -4y$
$ \boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0$
Soal 3: Tentukan persamaan diferensial dari $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ dengan A,B,C masing-masing merupakan konstanta sembarang
Jawab:
Persamaan 1: $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C $
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3x^2 + 2Ax + B$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = 6x + 2A$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 4: $\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} = 6$
Jadi, persamaan diferensial : $ \boxed{\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} - 6 = 0}$
Soal 4: Carilah persamaan diferensial dari berkas kardioida $r = a(1 - \cos \theta)$ dengan a adalah konstanta sembarang.
Jawab:
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $ r = a(1 - \cos \theta)$
Turunkan r terhadap $ \theta$, diperoleh
Persamaan 2:$ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = a \sin \theta$
Substitusikan$ a = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}$ dari persamaan 1 ke persamaan 2,
$ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}\times \sin \theta
\boxed{(1 - \cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} = r \sin \theta}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
$(1 - \cos \theta)\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = r \sin \theta$
Soal 5: Carilah persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari tetap yang berpusat pada sumbu x dengan persamaannya
$(x-c)^2 + y^2 = r^2 $di mana c adalah suatu konstanta.
Jawab:
Karena ada 1 konstanta sembarang, maka diperlukan dua persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $(x-c)^2 + y^2 = r^2$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $ 2(x-c) + 2y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$
Dari persamaan 2, diperoleh $x - c = -y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Substitusikan ke persamaan 1 sehingga diperoleh
$\left(-y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
$y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
Jadi, persamaan diferensial adalah
$\boxed{y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2}$.
Semoga pembahasan soal Contoh Soal Cara Membentuk Persamaan Diferensial ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang turunan
Loading...