-->

Contoh Soal Cara Membentuk Persamaan Diferensial

Topik Bahasan
Soal 1: Bentuklah persamaan diferensial dari: $ y = A \sin x + B \cos x$

Jawab:
Ingat bahwa
$ \boxed{\begin{aligned}&\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\sin x = \cos x \\ & \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\cos x = -\sin x \end{aligned}}$
$ y = A \sin x + B \cos x$
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = A \cos x - B \sin x$
Turunkan sekali lagi terhadap x, diperoleh
$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} & = -A \sin x - B \cos x \\ &  = -(A \sin x + B \cos x) = -y \end{aligned}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$ \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0$
Jadi, bentuk persamaan diferensial  y = A sin x + B cos x adalah  $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + y = 0$

Soal 2:  Bentuklah persamaan diferensial dari y = x + $\dfrac{A}{x}$

Jawab:
Diberikan
 $y = x + \dfrac{A}{x}$
Turunkan kedua ruas terhadap x, diperoleh
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 - \dfrac{A}{x^2} \bigstar$
Karena $y = x + \dfrac{A}{x}$, maka dengan mengubah A sebagai subjek persamaan, diperoleh
 A = x(y - x)
Substitusikan A ini ke \bigstar, didapat
 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1 - \dfrac{x(y-x)}{x^2} = 1 - \dfrac{y-x}{x} =\dfrac{2x-y}{x}$
Jadi, bentuk persamaan diferensialnya adalah
$\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{2x-y}{x}} atau \boxed{x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x - y}$

Soal 3: Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung $y = Ce^{-4x} $ dengan C adalah konstanta sembarang.

Jawab:
Rumus turunan fungsi transenden berikut, dengan u menyatakan fungsi dalam variabel bebas x.
$ \boxed{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}e^u = u'e^u}$
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $y = Ce^{-4x}$

Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4Ce^{-4x}$

Dari persamaan 1:$ C = \dfrac{y}{e^{-4x}}$, substitusikan C ke persamaan 2 untuk mendapatkan
$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -4\dfrac{y}{e^{-4x}}e^{-4x} = -4y$
$ \boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0$

Soal 3: Tentukan persamaan diferensial dari $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C$ dengan A,B,C masing-masing merupakan konstanta sembarang

Jawab:
Persamaan 1: $y = x^3 + Ax^2 + Bx + C $
Turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3x^2 + 2Ax + B$
Turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = 6x + 2A$
Turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 4: $\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} = 6$
Jadi, persamaan diferensial : $ \boxed{\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3} - 6 = 0}$

Soal 4:  Carilah persamaan diferensial dari berkas kardioida $r = a(1 - \cos \theta)$ dengan a adalah konstanta sembarang.

Jawab:
Karena ada satu konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $ r = a(1 - \cos \theta)$
Turunkan r terhadap $ \theta$, diperoleh

Persamaan 2:$ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = a \sin \theta$
Substitusikan$ a = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}$ dari persamaan 1 ke persamaan 2,

$ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = \dfrac{r}{1 - \cos \theta}\times \sin \theta
 \boxed{(1 - \cos \theta)\dfrac{dr}{d\theta} = r \sin \theta}$
Jadi, persamaan diferensialnya adalah
 $(1 - \cos \theta)\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} = r \sin \theta$

Soal 5: Carilah persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari tetap yang berpusat pada sumbu x dengan persamaannya
 $(x-c)^2 + y^2 = r^2 $di mana c adalah suatu konstanta.

Jawab:
Karena ada 1 konstanta sembarang, maka diperlukan dua persamaan untuk mengeliminasinya dan orde tertinggi dari turunannya adalah 1.
Persamaan 1: $(x-c)^2 + y^2 = r^2$
Turunkan terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $ 2(x-c) + 2y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$
Dari persamaan 2, diperoleh $x - c = -y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Substitusikan ke persamaan 1 sehingga diperoleh
$\left(-y\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
$y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2$
Jadi, persamaan diferensial  adalah
$\boxed{y^2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 + y^2 = r^2}$.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...