Menentukan PGS Lingkaran, Diketahui Gradien

Topik Bahasan lingkaran

Cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradien, digunakan rumus: (misalkan gradien =m)

$ L: x^2 + y^2 = r^2 $ Garis Singgung $y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} $
$ L: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ garis singgung $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} $
$ L:x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ garis singgung $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} $

Biasanya untuk gradien (m) juga diberikan garis lain yang sejajar/tegak lurus dengan garis singgung yang akan dicari. Untuk itu maka anda harus memahami hubungan gradien 2 garis dimana,> Dua garis sejajar, gradien : $ m_1 = m_2 $
Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $

Soal 1: Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $

Jawab :
Dari lingkaran bisa dihitung:
$ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $

Persamaan garis singgung dengan gradien $ m = \sqrt{8} $
$\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgung nya adalah $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x - 12 $

Soal 2. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x - 3 \, $ pada lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $

Jawab:
Berdasarkan persamaan lingkaran bisa diketahui
$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $

gradien garis singgung
Garis $ y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2 $
Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $ m = 2 $

Persamaan garis singgung lingkaran tersebut dengan gradien $ m = 2 $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) & = 2(x - 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 4 - 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2x - 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x - 5 - \sqrt{5} $

Soal 3 Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y - 1 = 0, \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0 $

Jawab:
Dari lingkaran bisa dicari
$ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2 $

gradien garis singgung,
Garis $ -3x + 4y - 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $
Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3} $

Persamaan garis singgung dengan gradien $ m = - \frac{4}{3} $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 & = - 4x - 8 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } : 3y & = - 4x - 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = - 4x - 5 - 10 \\ 3y & = -4x - 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $.

Semoga pembahasan soal Menentukan PGS Lingkaran, Diketahui Gradien ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.

Cari Soal dan Pembahasan tentang lingkaran