-->

Menentukan PGS Lingkaran, Diketahui Gradien

Topik Bahasan
Cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradien, digunakan rumus: (misalkan gradien =m)
  1. $ L: x^2 + y^2 = r^2 $ Garis Singgung  $y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2}  $
  2. $ L: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ garis singgung $  y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2}  $
  3. $ L:x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ garis singgung $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} $
Biasanya untuk gradien (m) juga diberikan garis lain yang sejajar/tegak lurus dengan garis singgung yang akan dicari. Untuk itu maka anda harus memahami hubungan gradien 2 garis dimana,> Dua garis sejajar, gradien : $ m_1 = m_2 $
Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $

Soal 1:  Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $

Jawab :
Dari lingkaran bisa dihitung:
$ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $

Persamaan garis singgung dengan gradien $ m = \sqrt{8} $
$\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgung nya adalah $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x - 12 $

Soal 2. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x - 3 \, $ pada lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $

Jawab:
Berdasarkan persamaan lingkaran bisa diketahui
$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $

gradien garis singgung
Garis $ y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2 $
Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $ m = 2 $

Persamaan garis singgung lingkaran tersebut dengan gradien $ m = 2 $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) & = 2(x - 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 4 - 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2x - 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x - 5 - \sqrt{5} $

Soal 3 Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y - 1 = 0, \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0 $

Jawab:
Dari lingkaran bisa dicari
$ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2 $

gradien garis singgung,
Garis $ -3x + 4y - 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $
Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3} $

Persamaan garis singgung dengan gradien $ m = - \frac{4}{3} $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 & = - 4x - 8 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } :   3y & = - 4x - 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = - 4x - 5 - 10 \\ 3y & = -4x - 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...