-->

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Diferensial

Topik Bahasan
Carilah persamaan diferensial dari fungsi primitif (fungsi sederhana yang mudah untuk diintegrasikan) berikut jika A dan B adalah konstanta sembarang.

Soal 1. $y = Ae^x + B$
Jawab:
Persamaan 1:$ y = Ae^x + B$
Turunkan y terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = Ae^x$
Turunkan sekali lagi,
Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = Ae^x$
Dari persamaan 2 dan 3, kita peroleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} \Leftrightarrow \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$
Jadi, persamaan diferensialnya ,
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} - \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0}$

Soal 2. $y = A \sin (y + B)$
Jawab:
Persamaan 1: $x = A \sin (y + B)$
Turunkan x terhadap y, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = A \cos (y + B)$
Turunkan sekali lagi,
Persamaan 3: $ \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} = -A \sin (y + B)$
Dari persamaan 1 dan persamaan 3, kita dapatkan
$x = -\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} \Leftrightarrow \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0$
Jadi, persamaan diferensialnya ,
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0}$

Soal 3: Tunjukkan kebenaran teorema berikut.
Jika $f_1$ solusi dari $ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) $dan $f_2$ solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_2(x)$, maka $ f_1 + f_2$ merupakan solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$

Pembahasan:
Misalkan turunan pertama$ f_1 $dan $ f_2$ berturut-turut adalah $ f_1' $dan $f_2'$.
Dari perkiraan tersebut, kita peroleh dua persamaan berikut:
$ \begin{cases} f_1' + P(x)f_1 = Q_1(x) \\ f_2' + P(x)f_2 = Q_2(x)\end{cases} (\bigstar)$
Untuk membuktikan bahwa $ f_1 + f_2$ merupakan solusi dari persamaan $ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$, substitusi $ y = f_1 + f_2$, dengan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f_1' + f_2'$ ke ruas kiri, sehingga diperoleh
 $f_1' + f_2' + P(x)(f_1 + f_2)$
$ = (f_1' + P(x)f_1) + (f_2' + P(x)f_2)$
Dengan menggunakan (\bigstar), diperoleh
 $= Q_1(x) + Q_2(x)$
(Terbukti)

Soal 4: Tentukan penyelesaian umum dari $2y^{\prime \prime} - 8 = 0$

Jawab:
Misal y adalah fungsi dari x, sehingga
$\begin{aligned} 2y^{\prime \prime} - 8 & = 0 \\ y^{\prime \prime} & = 4 \\ \int y~\text{d}y &  = \int~4~\text{d}x \\ y' & = 4x + C \\ \int y'~\text{d}y & = \int (4x + C)~\text{d}x \\ y & = 2x^2 + Cx + D \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian umum dari persamaan diferensial di atas adalah $\boxed{y = 2x^2 + Cx + D} $ dengan C, D merupakan konstanta sembarang..

Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Diferensial ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...