-->

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Diferensial

Topik Bahasan
Carilah persamaan diferensial dari fungsi primitif (fungsi sederhana yang mudah untuk diintegrasikan) berikut jika A dan B adalah konstanta sembarang.

Soal 1. $y = Ae^x + B$
Jawab:
Persamaan 1:$ y = Ae^x + B$
Turunkan y terhadap x, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = Ae^x$
Turunkan sekali lagi,
Persamaan 3: $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = Ae^x$
Dari persamaan 2 dan 3, kita peroleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} \Leftrightarrow \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$
Jadi, persamaan diferensialnya ,
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} - \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0}$

Soal 2. $y = A \sin (y + B)$
Jawab:
Persamaan 1: $x = A \sin (y + B)$
Turunkan x terhadap y, diperoleh
Persamaan 2: $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} = A \cos (y + B)$
Turunkan sekali lagi,
Persamaan 3: $ \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} = -A \sin (y + B)$
Dari persamaan 1 dan persamaan 3, kita dapatkan
$x = -\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} \Leftrightarrow \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0$
Jadi, persamaan diferensialnya ,
$\boxed{\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2} + x = 0}$

Soal 3: Tunjukkan kebenaran teorema berikut.
Jika $f_1$ solusi dari $ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) $dan $f_2$ solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_2(x)$, maka $ f_1 + f_2$ merupakan solusi dari $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$

Pembahasan:
Misalkan turunan pertama$ f_1 $dan $ f_2$ berturut-turut adalah $ f_1' $dan $f_2'$.
Dari perkiraan tersebut, kita peroleh dua persamaan berikut:
$ \begin{cases} f_1' + P(x)f_1 = Q_1(x) \\ f_2' + P(x)f_2 = Q_2(x)\end{cases} (\bigstar)$
Untuk membuktikan bahwa $ f_1 + f_2$ merupakan solusi dari persamaan $ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q_1(x) + Q_2(x)$, substitusi $ y = f_1 + f_2$, dengan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f_1' + f_2'$ ke ruas kiri, sehingga diperoleh
 $f_1' + f_2' + P(x)(f_1 + f_2)$
$ = (f_1' + P(x)f_1) + (f_2' + P(x)f_2)$
Dengan menggunakan (\bigstar), diperoleh
 $= Q_1(x) + Q_2(x)$
(Terbukti)

Soal 4: Tentukan penyelesaian umum dari $2y^{\prime \prime} - 8 = 0$

Jawab:
Misal y adalah fungsi dari x, sehingga
$\begin{aligned} 2y^{\prime \prime} - 8 & = 0 \\ y^{\prime \prime} & = 4 \\ \int y~\text{d}y &  = \int~4~\text{d}x \\ y' & = 4x + C \\ \int y'~\text{d}y & = \int (4x + C)~\text{d}x \\ y & = 2x^2 + Cx + D \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian umum dari persamaan diferensial di atas adalah $\boxed{y = 2x^2 + Cx + D} $ dengan C, D merupakan konstanta sembarang..

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...