Topik Bahasan
Kode 924 2019,
UM UGM
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $
Catatan
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.
Pembahasan
Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 4 & * & 4 & -4a + 16 & 4b-16a+48 & * & \\ -4 & * & * & -4 & 4a - 16 & -4b+16a-48 & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b - 12a + 36 & -4b+16a - 52 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (4b - 12a + 36)x + (-4b+16a - 52) $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ 4b - 12a + 36 = 0 \, $ ..........(i)
$ -4b+16a - 52 = 0 \, $ ..........(ii)
Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b - 12a + 36 = 0 & \\ -4b+16a - 52 = 0 & + \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
Nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 $
Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 $ :
Akar-akar pembaginya :
$ (x-2)^2 = 0 \rightarrow (x-2)(x-2) = 0 \rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 2 $.
*). Metode Horner Khusus :
-). Bagan/skemanya yaitu :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & ... & ... & ... & ... & s_1 & \\ x_2 & * & ... & ... & ... & & + \\ \hline & ... & ... & ... & s_2 & & \end{array} $
-). Kita lengkapkan bagian yang kosong(titik-titik):
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 2 & * & 2 & -2a + 4 & 2b-4a+8 & 4b-8a+24 & + \\ \hline & 1 & -a+2 & b-2a+4 & 2b - 4a + 12 & 4b-8a +20 & \\ 2 & * & 2 & -2a+8 & 2b -8a+24 & & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b-12a+36 & & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ s_1=0 \rightarrow 4b-8a +20 = 0 \, $ ..........(i)
$ s_2 = 0 \rightarrow 4b-12a+36 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b-8a +20 = 0 & \\ 4b-12a+36 = 0 & - \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $
Jawab
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Bentuk faktor dari $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ :
$\begin{align} x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = (x^2-4x+4)(x^2 + px - 1) \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 +px^3 -x^2 - 4x^3 -4px^2 \\ & \, \, \, +4x +4x^2 + 4px - 4 \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 + (p-4)x^3 + (3-4p)x^2 + (4p+4)x - 4 \end{align} $
Dari kesamaan bentuk terakhir di atas, kita peroleh kesamaan berdasarkan koefisien suku-suku sejenis yaitu :
$ 4p+4 = 4 \rightarrow p = 0 $
$ -a = p-4 \rightarrow -a = 0-4 \rightarrow a = 4 $
$ b = 3-4p \rightarrow b = 3. 4.0 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $ .
Semoga pembahasan soal Soal Pembahasan Suku Banyak UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $
Catatan
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.
Pembahasan
Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 4 & * & 4 & -4a + 16 & 4b-16a+48 & * & \\ -4 & * & * & -4 & 4a - 16 & -4b+16a-48 & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b - 12a + 36 & -4b+16a - 52 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (4b - 12a + 36)x + (-4b+16a - 52) $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ 4b - 12a + 36 = 0 \, $ ..........(i)
$ -4b+16a - 52 = 0 \, $ ..........(ii)
Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b - 12a + 36 = 0 & \\ -4b+16a - 52 = 0 & + \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
Nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 $
Alternatif 1
CATATAN
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.
Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 $ :
Akar-akar pembaginya :
$ (x-2)^2 = 0 \rightarrow (x-2)(x-2) = 0 \rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 2 $.
*). Metode Horner Khusus :
-). Bagan/skemanya yaitu :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & ... & ... & ... & ... & s_1 & \\ x_2 & * & ... & ... & ... & & + \\ \hline & ... & ... & ... & s_2 & & \end{array} $
-). Kita lengkapkan bagian yang kosong(titik-titik):
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 2 & * & 2 & -2a + 4 & 2b-4a+8 & 4b-8a+24 & + \\ \hline & 1 & -a+2 & b-2a+4 & 2b - 4a + 12 & 4b-8a +20 & \\ 2 & * & 2 & -2a+8 & 2b -8a+24 & & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b-12a+36 & & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ s_1=0 \rightarrow 4b-8a +20 = 0 \, $ ..........(i)
$ s_2 = 0 \rightarrow 4b-12a+36 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b-8a +20 = 0 & \\ 4b-12a+36 = 0 & - \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $
Alternatif 2
Catatan
*). Misalkan polinomial $ f(x) $ habis dibagi $ p(x) $ artinya $ f(x) $ adalah hasil perkalian dengan $ p(x) $ yaitu : $ f(x) = p(x). h(x) $ dengan $ h(x) $ adalah faktor lainnya.
*). Proses berikutnya tinggal menyamakan nilai koefisien suku-suku yang sejenis.
*). Misalkan polinomial $ f(x) $ habis dibagi $ p(x) $ artinya $ f(x) $ adalah hasil perkalian dengan $ p(x) $ yaitu : $ f(x) = p(x). h(x) $ dengan $ h(x) $ adalah faktor lainnya.
*). Proses berikutnya tinggal menyamakan nilai koefisien suku-suku yang sejenis.
Jawab
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Bentuk faktor dari $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ :
$\begin{align} x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = (x^2-4x+4)(x^2 + px - 1) \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 +px^3 -x^2 - 4x^3 -4px^2 \\ & \, \, \, +4x +4x^2 + 4px - 4 \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 + (p-4)x^3 + (3-4p)x^2 + (4p+4)x - 4 \end{align} $
Dari kesamaan bentuk terakhir di atas, kita peroleh kesamaan berdasarkan koefisien suku-suku sejenis yaitu :
$ 4p+4 = 4 \rightarrow p = 0 $
$ -a = p-4 \rightarrow -a = 0-4 \rightarrow a = 4 $
$ b = 3-4p \rightarrow b = 3. 4.0 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $ .
Semoga pembahasan soal Soal Pembahasan Suku Banyak UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 924 2019, UM UGM
Loading...