-->

Invers dan Determinan MAtriks

Topik Bahasan

 Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$

Jawab

Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:

  • $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
  • $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
  • $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
  • $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
  • $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$

Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$


.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...