Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$
Jawab
Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
- $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
- $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$
Semoga pembahasan soal Invers dan Determinan MAtriks ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang matriks