Topik Bahasan
lingkaran
Soal 1: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$
Jawab:
Langkah 1:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ .
Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
Langkah 2:
Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung :
$ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + n \\ 1 & = m . 7 + n \\ n & = 1 - 7m \end{align} $
Substitusi bentuk $ n = 1 - 7m \, $ ke garis $ y = mx + n $
diperoleh garis singgung baru : $ y = mx + (1-7m) $
Substitusi garis singgung baru ke lingkaran :
$ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 - 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $
Langkah 3
Menentukan nilai Diskriminan ($D$) :
$ \begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $
Langkah 4
Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 - 7m - 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m - 4) & = 0 \\ m = - \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $
Langkah 5
Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung baru :
$ \begin{align} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 - \frac{28}{3}) \\ y & = \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x - 25 \\ 4x - 3y & = 25 \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgungnya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ . .
Semoga pembahasan soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran I ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Misalkan titik ($x_1, y_1$ ) berada diluar lingkaran. Akan dicari persamaan garis singgung yang melewati titik diluar lingkaran tersebut. Cara Ini disebut dengan permisalan garis. Langkah Langkahnya sebagai berikut,
- Misalkan garis singggungnya $ y = mx + n $ ,
- Substitusi titik A($x_1,y_1$) ke garis $ y = mx + n $ , dan tentukan nilai $ n \, $ dalam bentuk $ m $ kemudian substitusi nilai $ n \, $ ke garis $ y = mx + n $ .
- Substitusi garis yang baru ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai diskriminannya ($D$).
- Tentukan nilai $ m \, $ dengan syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $ .
- Substitusi nilai $ m $ yang diperoleh ke garis baru yang terbentuk.
Soal 1: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$
Jawab:
Langkah 1:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ .
Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
Langkah 2:
Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung :
$ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + n \\ 1 & = m . 7 + n \\ n & = 1 - 7m \end{align} $
Substitusi bentuk $ n = 1 - 7m \, $ ke garis $ y = mx + n $
diperoleh garis singgung baru : $ y = mx + (1-7m) $
Substitusi garis singgung baru ke lingkaran :
$ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 - 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $
Langkah 3
Menentukan nilai Diskriminan ($D$) :
$ \begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $
Langkah 4
Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 - 7m - 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m - 4) & = 0 \\ m = - \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $
Langkah 5
Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung baru :
$ \begin{align} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 - \frac{28}{3}) \\ y & = \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x - 25 \\ 4x - 3y & = 25 \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgungnya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ . .
Semoga pembahasan soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran I ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang lingkaran
Loading...