-->

Soal Pembahasan Integral Subtitusi

Topik Bahasan
Langkah Menyelesaikan Soal Integral dengan Teknik Subtitusi dari $ \int [f(x)]^n g(x) dx \, $ sebagai berikut:
1. Misalkan dan cari turunannya $ u = f(x) \, , $
Turunkan u: $ \frac{du}{dx} = f^\prime (x) \rightarrow  dx = \frac{du}{f^\prime (x) } $ .
2. Soal diubah semua dalam bentuk u dan integralkan seperti biasanya. $ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{u^\prime } \, $ atau $ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{ f^\prime (x) } $
Q1. Tentukanlah hasil dari integral: $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx $ ?

Penyelesaian :
Misalkan dan turunkan 
$ u = x^2 + 4x - 5 \\ \frac{du}{dx} = 2x + 4  \\ dx = \frac {du}{2x + 4}$

Mengubah bentuk soal dan mengintegralkan::
$ \begin{align} \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx & = \int (4x + 8) \sqrt{u} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int (4x + 8) \sqrt{u} \frac{du}{2x + 4 } \\ & = \int 2(2x + 4) \sqrt{u} \frac{du}{2x + 4 } \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 2 \sqrt{u} du \\ & = 2 \int u^\frac{1}{2} du \\ & = 2 . \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} u^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = 2 . \frac{1}{\frac{3}{2} } u^{\frac{3}{2} } + c \\ & = 2 . \frac{2}{3} u^{1 + \frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{4}{3} u^1 . u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{4}{3} u . \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{4}{3} (x^2 + 4x - 5) \sqrt{x^2 + 4x - 5} + c \end{align} $

Bentuk $ \frac{4}{3} (x^2 + 4x - 5) \sqrt{x^2 + 4x - 5} + c = \frac{4}{3} \sqrt{(x^2 + 4x - 5)^3} + c   $
Jadi, hasil dari $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx = \frac{4}{3} (x^2 + 4x - 5) \sqrt{x^2 + 4x - 5} + c $.
atau $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x - 5} dx = \frac{4}{3} \sqrt{(x^2 + 4x - 5)^3} + c $

Q2. Tentukanlah hasil integral dari : $ \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx $ ?

Penyelesaian :
Misalkan dan turunkan
$ u = \sqrt{x} + 2 \\ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ dx = \frac {du}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} $

Ubah bentuk soal dan Integralkan:
$ \begin{align} \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} . 2\sqrt{x} du \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 10\sqrt{ (u )^3} du \\ & = 10 \int u^\frac{3}{2} du \\ & = 10 . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} u^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = 10 . \frac{1}{\frac{5}{2} } u^{\frac{5}{2} } + c \\ & = 10 . \frac{2}{5} \sqrt{u^5} + c \\ & = 4 \sqrt{u^5} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = 4 \sqrt{(\sqrt{x} + 2)^5} + c \, \, \, \, \, \text{(atau)} \\ & = 4 (\sqrt{x} + 2)^2\sqrt{ \sqrt{x} + 2 } + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx = 4 \sqrt{(\sqrt{x} + 2)^5} + c $

Q3. Hasil integral dari : $ \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx $ ?

Penyelesaian :
Misalkan dan Turunkan
 $ u = \sqrt{x} + 4 \\ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ dx = \frac {du}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

Ubah dalam u dan integralkan:
$ \begin{align} \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} 2\sqrt{x} du \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = 2\int \cos u du \\ & = 2 \sin u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = 2 \sin (\sqrt{x} + 4) + c \end{align} $

Jadi, hasil dari $ \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx = 2 \sin (\sqrt{x} + 4) + c $.
.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...