-->

Contoh Soal dan Penyelesaian Relasi Rekurensi Linear Homogen

Topik Bahasan
Silahkan baca materi Solusi Relasi Rekurensi Linear.
Soal 1: Selesaikan relasi rekurensi $a_n=7a_{n−1}$, dimana n≥0 dan $a_2=98$ !

Pembahasan:
Bentuk alternatif dari relasi $a_n=7a_{n−1}$ untuk n≥0  dan $a_2=98$. Oleh karena itu solusi umumnya mempunyai bentuk $a_n=a_0(7^n)$. Karena $a_2=98=a_0(7^2), akibatnya $a_0=2$, dan $a_n=2(7^n)$ untuk n≥0.

Soal 2: Carilah $a_{12}$ jika $a^2_n=5a^2_{n−1}; dimana an>0 untuk n≥0, dan $a_0$=2

Solusi :
Walau relasi rekurensi ini tak-linear, jika dimisalkan $b_n=a^2_n$, maka diperoleh relasi yang baru $b_n=5b_{n−1}$ untuk n≥0, dan $b_0=4$, yang merupakan relasi rekurensi linear dengan solusi $b_n=4(5^n)$. Dengan demikian $a_n=2( \sqrt 5)^n untuk n≥0, dan $a_{12}=2( \sqrt 6)^{12}=31250$.

Soal 3:
Selesaikan relasi rekurensi $a_n=2(a_{n−1}−a_{n−2}), dimana n≥2 dan $a_0=1$, $a_2=2$.

Pembahasan:
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah $r^2−2r+2=0$, dan akar-akarnya adalah $r_1=1+i$ dan $r_2=1−i$. Sehingga, barisan ($a_n$) adalah solusi relasi rekurensi tersebut jika dan hanya jika
$ \begin{align*} a_n = \alpha_1(1+i)^n + \alpha_2(1-i)^n, \end{align*}$

Berdasarkan teorema DeMoivre,
$\begin{align*} a_n &= \alpha_1(\sqrt{2})^n(cos \ \frac{n\pi}{4} + i \ sin \
\frac{n\pi}{4}) + \alpha_2(\sqrt{2})^n(cos \ \frac{-n\pi}{4} + i \sin \ \frac{-n\pi}{4})\\ &= \alpha_1(\sqrt{2})^n(cos \ \frac{n\pi}{4} + i \ sin \
\frac{n\pi}{4}) + \alpha_2(\sqrt{2})^n(cos \ \frac{n\pi}{4} - i \ sin \ \frac{n\pi}{4})\\ &= (\sqrt{2})^n(k_1 \ cos \ \frac{n\pi}{4} + k_2 \ \ sin \ \frac{n\pi}{4}) \end{align*}$

dimana $k_1 = \alpha_1+\alpha_2$ dan $k_2=(\alpha_1-\alpha_2)i$. Dengan memasukkan nilai dari syarat awal, akan diperoleh
$\begin{align*} a_0 &= 1 = (\sqrt{2})^0(k_1 \ cos \ 0 + k_2 \ sin \ 0) = k_1\\
a_1 &= 2 = (\sqrt{2})^1(k_1 \ cos \ \frac{\pi}{4} + k_2 \ \ sin \  \frac{\pi}{4}) = 1 + k_2, \end{align*}$
sehingga $k_1=1$ dan $k_2=1$. Jadi, solusi dari relasi rekurensi $a_n=2(a_{n−1}−a_{n−2}), dimana n≥2 dan $a_0=1$, $a_2=2$ adalah
$\begin{align*} a_n=(\sqrt{2})^n(\ cos \ \frac{n\pi}{4} + \ \ sin \  \frac{n\pi}{4}), n \geq 0. \end{align*}$

Soal 4 Carilah solusi dari relasi rekurensi $a_n=6a_{n−1}−9a_{n−2}$ dengan syarat awal $a_0=1$ dan $a_1=6$

Pembahasan:
Akar dari persamaan $r_2−6r+9=0$ adalah r=3. Sehingga, solusi dari relasi rekurensi ini adalah
$\begin{align*} a_n=\alpha_13^n + \alpha_2n3^n \end{align*}$
substitusikan nilai dari syarat awal $a_0=1$ dan $a_1=6$ diperoleh
$\begin{align*} a_0&= 1 =\alpha_1\\ a_1&=\alpha_1.3 + \alpha_2.3 \end{align*}$
dengan menyelesaikan kedua persamaan di atas, diperoleh nilai α1=1 dan α2=1. Akibatnya, solusi dari relasi rekurensi tersebut,
$\begin{align*} a_n=3^n + n3^n.\end{align*}$

Soal 5. Solusi dari relasi rekurensi $a_n=6a_{n-1}-11a_{n-2}+6a_{n-3}$ dengan syarat awal $a_0=2, a_1=5,  a_2=15 $ adalah...

Pembahasan:
Persamaan karakteristik polinomial relasi rekurensi ini adalah $r^3 - 6r^2 + 11r -6 = 0$ akar-akar karakteristiknya adalah $r_1=1,r_2=2,  r_3=3$, karena $r^3 - 6r^2 + 11r -6 = (r-1)(r-2)(r-3)$
solusi relasi rekurensi ini berbentuk
$a_n=\alpha_1.1^n + \alpha_2.2^n + \alpha_3.3^n $
Untuk menemukan nilai α1,α2, dan α3, kita gunakan syarat awal yang telah ditentukan sebelumnya, yaitu  $a_0=2, a_1=5,  a_2=15 $.
$\begin{align*} a_0 &= 2 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3\\ a_1 &= 5 = \alpha_1 + \alpha_2.2 + \alpha_3.3 \\ a_2 &= 15 = \alpha_1 + \alpha_2.4 + \alpha_3.9 \end{align*}$
Setelah diselesaikan (subtitusi-eliminasi) diperoleh nilai α1=1 , α2=−1, dan α3=2
sehingga solusinya bisa disebut, $a_n= 1 - 2^n + 2.3^n$

Soal 6. Temukan solusi dari relasi rekurensi $a_n=-3a_{n-1} - 3a_{n-2} - a_{n-3}$ dengan syarat awal $a_0=1,a_1=−2,  a_2=−1$.

Pembahasan:
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi ini adalah $r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0$ sebab Karena $r^3 + 3r^2 + 3r + 1 =(r+1)^3$ , r=-1
solusi relasi rekurensi ini berbentuk
$a_n=\alpha_{1,0}(-1)^n+\alpha_{1,1}n(-1)^n+\alpha_{1,2}n^2(-1)^n $
masukkan syarat awalnya.
$\begin{align*} a_0 &= 1 = \alpha_{1,0}\\ a_1 &= -2 = -\alpha_{1,0} - \alpha_{1,1} - \alpha_{1,2}\\ a_2 &= -1 = \alpha_{1,0} + 2\alpha_{1,1}+ 4\alpha_{1,2} \end{align*}$
Selesaikan tiga persamaan diatas dan diperoleh akan  α$_{1,0}$=1,α$_{1,1}$=3, dan α$_{1,2}$=−2
Dan solusinya bisa ditulis,
$a_n=(-1)^n+3n(-1)^n - 2n^2(-1)^n$

.

Cari Soal dan Pembahasan tentang

Loading...