Topik Bahasan
aljabar
Soal ON MIPA-PT
Diberikan $(G, \star) $suatu grup dan $ a, b \in G$. Diketahui $a \star b = b \star a^{-1}$ dan$ b \star a = a \star b^{-1}$. Elemen identitas dari G adalah …
A. $a^5$ B. $a^4 $ C.$ a^3$
D. $a^2 $ E. $a$
Jawab:
Diketahui bahwa
$ a \star b = b \star a^{-1}$
untuk setiap$ a, b \in G$. Karena G grup, maka setiap anggota G memiliki invers di G. Dalam kasus ini, a memiliki invers, yaitu $a^{-1} \in G$.
Jadi, berlaku
$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$ a = a^{-1}$
Diperoleh bahwa invers anggota G adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup: identitas dan invers,
$a \star a^{-1} = e$
$a \star a = e$
$a^2 = e$
Jadi, unsur identitas G adalah $a^2$. (Jawaban D)
Soal OSN-Pertamina Tahun 2011 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi
Misalkan (G, +) suatu grup dan a, b elemen-elemen di G. Jika ab = ba, |a| = m, |b| = n, dan m,n saling prima relatif, maka ....
A. |a + b| = |a| + |b|
B. |ab| = |a||b|
C. |ab| < |a|b|
D. |a + b| = |a| = |b| - |ab|
E. |ab| = |a + b|
Jawab-
Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi
Misalkan $M_n(\mathbb{Z})$ menyatakan himpunan matriks persegi berukuran $n \times n$ dengan elemen-elemennya pada $ \mathbb{Z}$. Jika operasi$ \bullet$ menyatakan perkalian matriks dan $\mathbb{M} = \{M \in M_2(\mathbb{Z}) : |M| \neq 0\}$, maka$ (\mathbb{M}, \bullet)$ adalah
A. grup abelian
B. grup non-abelian
C. monoid abelian dan bukan grup
D. monoid non-abelian dan bukan grup
E. tidak dapat ditentukan
Pembahasan:
Jelas bahwa pada operasi perkalian maupun penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup. Sifat asosiatif juga berlaku secara umum pada matriks. Himpunan matriks$ \mathbb{M} $juga memiliki identitas terhadap operasi perkalian matriks, yaitu
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Tetapi, tidak semua anggota himpunan matriksnya memiliki invers yang juga anggota himpunan matriks tersebut.
Dalam hal ini, kita sudah tahu bahwa invers dari matriks berordo 2 dengan entri bilangan bulat a,b,c,d yang dinotasikan
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
memiliki invers
$\dfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Perkalian terhadap bilangan konstan berupa pecahan (bilangan rasional) di luar matriks mengakibatkan entrinya tidak selalu bilangan bulat. Berarti, struktur aljabar$ (\mathbb{M}, \bullet) $ memenuhi sifat tertutup, asosiatif, dan memiliki identitas, tetapi tidak semua anggotanya memiliki invers di $\mathbb{M}$. Karena hanya memenuhi 3 aksioma pertama, maka struktur tersebut dinamakan monoid (jika aksioma invers terpenuhi disebut grup). Selanjutnya, kita juga sudah tahu bahwa dalam operasi perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Jadi, struktur tersebut adalah monoid non-abelian (atau monoid non-komutatif) dan bukan grup (Jawaban D)
Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi
Semigrup adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner yang memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Sedangkan monoid adalah semigrup dengan identitas. Pernyataan berikut yang benar adalah
A. ($\mathbb{Z}, \times$) monoid dan bukan grup
B. ($\mathbb{Z}^+, \times$) semigrup dan bukan monoid
C. ($\mathbb{Z}, +$) monoid dan bukan grup
D. ($\mathbb{Z}^+, +$) semigrup dan bukan monoid
E. Lebih dari satu pilihan jawaban di atas benar
Pembahasan:
$(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid dan bukan grup adalah pernyataan yang benar karena tidak setiap elemennya memiliki invers di $ \mathbb{Z}$. Contohnya, invers perkalian dari 1 adalah 1 (bulat), tetapi invers perkalian dari 2 adalah $ \dfrac{1}{2} $yang jelas bukan bilangan bulat.
$(\mathbb{Z}^+, \times)$ adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang salah sebab strukturnya memiliki identitas, yaitu 1, yang merupakan bilangan bulat positif (seharusnya monoid dan bukan grup)
$(\mathbb{Z}, +) $ adalah monoid dan bukan grup merupakan pernyataan yang salah karena elemen himpunannya memiliki invers di himpunan itu sendiri. Misalkan invers jumlah dari 2 adalah -2, invers jumlah dari 0 adalah 0, dan seterusnya.
$(\mathbb{Z}^+, +)$ adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang benar karena strukturnya tidak memiliki identitas. Identitas operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah 0, tetapi 0 sendiri bukan bilangan bulat positif.
Jadi, ada 2 alternatif jawaban yang benar. Berarti, pilih jawaban E.
Soal ON MIPA-PT
Diketahui grup permutasi$ S_4$. Order dari (1 2 3 4) \$in S_4$ adalah (order dari$ a \in G$ adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi$ a^n = e $dengan e elemen identitas)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
(1 2 3 4) artinya permutasi yang mengambil $\{1,2,3,4\}$ sebagai suatu sikel (siklus), yaitu $\begin{cases} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 4 \\ 4 \mapsto 1 \end{cases}$
Bagan di atas menunjukkan adanya 4 siklus, yang berarti membutuhkan pengoperasian sebanyak 4 kali dari permutasi semula. Jadi, order dari $S_4 $adalah 4.
Tips: Order dari (1 2 3 ... n) $\in S_n$ adalah n
Soal ON MIPA-PT
Misalkan $A = \{e, x, x^2, x^3, y, xy, x^2y, x^3y\}$ dengan$ x^4 = y^2 = e$ dan$ xy = y^{-1}x$. Banyaknya unsur idempoten di A adalah ....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
Elemen $a \in A$ disebut unsur idempoten di A jika berlaku $a^2 = a$. Jelas bahwa e adalah elemen idempoten dalam A, karena berlaku$ e^2 = e$. Perhatikan bahwa $x^{2a} = x^a $hanya ketika $x^a = e$, jadi tidak ada perpangkatan x lain yang merupakan idempoten. Selain itu, $y^{-1} = y$, sehingga dalam grup ini, berlaku xy = yx (abelian). Selanjutnya,
$(x^ay)(x^ay) = x^{2a}y^2 = x^{2a}e = x^{2a} \neq x^ay$
Jadi, tidak ada elemen A dalam bentuk x^ay yang merupakan idempoten di grup tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa banyak unsur idempoten di A hanya 1, yaitu e
Soal ON MIPA-PT
Misalkan $S_5$ adalah grup permutasi atas$ \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Banyaknya unsur berorde 2 di$ S_5 $adalah ...
Pembahasan
Unsur berorde 2 pada grup permutasi $S_5$ menandakan bahwa kita harus membentuk cycle permutasi berbentuk (a, b) atau (a, b)(c, d), yang banyak unsurnya dapat dihitung dengan aturan kombinasi. Ingat bahwa (a, b) dan (b, a) adalah sama (misalnya, (1, 2) = (2, 1), atau misal cycle berorde tiga (1, 2, 3) = (2, 3, 1) = (3, 1, 2)). Untuk kasus (a, b), ada sebanyak $C_2^5 = 10$.
Untuk kasus (a, b)(c, d), ada sebanyak $C_2^5 \times C_2^3 = 10 \times 3 = 30$
Jadi, banyak unsur berorde 2 di $S_5$ adalah 10 + 30 = 40.
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal Aljabar - Grup OSN PT dan OSN Pertamina ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal ON MIPA-PT
Diberikan $(G, \star) $suatu grup dan $ a, b \in G$. Diketahui $a \star b = b \star a^{-1}$ dan$ b \star a = a \star b^{-1}$. Elemen identitas dari G adalah …
A. $a^5$ B. $a^4 $ C.$ a^3$
D. $a^2 $ E. $a$
Jawab:
Diketahui bahwa
$ a \star b = b \star a^{-1}$
untuk setiap$ a, b \in G$. Karena G grup, maka setiap anggota G memiliki invers di G. Dalam kasus ini, a memiliki invers, yaitu $a^{-1} \in G$.
Jadi, berlaku
$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$ a = a^{-1}$
Diperoleh bahwa invers anggota G adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup: identitas dan invers,
$a \star a^{-1} = e$
$a \star a = e$
$a^2 = e$
Jadi, unsur identitas G adalah $a^2$. (Jawaban D)
Soal OSN-Pertamina Tahun 2011 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi
Misalkan (G, +) suatu grup dan a, b elemen-elemen di G. Jika ab = ba, |a| = m, |b| = n, dan m,n saling prima relatif, maka ....
A. |a + b| = |a| + |b|
B. |ab| = |a||b|
C. |ab| < |a|b|
D. |a + b| = |a| = |b| - |ab|
E. |ab| = |a + b|
Jawab-
Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi
Misalkan $M_n(\mathbb{Z})$ menyatakan himpunan matriks persegi berukuran $n \times n$ dengan elemen-elemennya pada $ \mathbb{Z}$. Jika operasi$ \bullet$ menyatakan perkalian matriks dan $\mathbb{M} = \{M \in M_2(\mathbb{Z}) : |M| \neq 0\}$, maka$ (\mathbb{M}, \bullet)$ adalah
A. grup abelian
B. grup non-abelian
C. monoid abelian dan bukan grup
D. monoid non-abelian dan bukan grup
E. tidak dapat ditentukan
Pembahasan:
Jelas bahwa pada operasi perkalian maupun penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup. Sifat asosiatif juga berlaku secara umum pada matriks. Himpunan matriks$ \mathbb{M} $juga memiliki identitas terhadap operasi perkalian matriks, yaitu
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Tetapi, tidak semua anggota himpunan matriksnya memiliki invers yang juga anggota himpunan matriks tersebut.
Dalam hal ini, kita sudah tahu bahwa invers dari matriks berordo 2 dengan entri bilangan bulat a,b,c,d yang dinotasikan
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
memiliki invers
$\dfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Perkalian terhadap bilangan konstan berupa pecahan (bilangan rasional) di luar matriks mengakibatkan entrinya tidak selalu bilangan bulat. Berarti, struktur aljabar$ (\mathbb{M}, \bullet) $ memenuhi sifat tertutup, asosiatif, dan memiliki identitas, tetapi tidak semua anggotanya memiliki invers di $\mathbb{M}$. Karena hanya memenuhi 3 aksioma pertama, maka struktur tersebut dinamakan monoid (jika aksioma invers terpenuhi disebut grup). Selanjutnya, kita juga sudah tahu bahwa dalam operasi perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Jadi, struktur tersebut adalah monoid non-abelian (atau monoid non-komutatif) dan bukan grup (Jawaban D)
Soal OSN-Pertamina Tahun 2010 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi
Semigrup adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner yang memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Sedangkan monoid adalah semigrup dengan identitas. Pernyataan berikut yang benar adalah
A. ($\mathbb{Z}, \times$) monoid dan bukan grup
B. ($\mathbb{Z}^+, \times$) semigrup dan bukan monoid
C. ($\mathbb{Z}, +$) monoid dan bukan grup
D. ($\mathbb{Z}^+, +$) semigrup dan bukan monoid
E. Lebih dari satu pilihan jawaban di atas benar
Pembahasan:
$(\mathbb{Z}, \times)$ merupakan monoid dan bukan grup adalah pernyataan yang benar karena tidak setiap elemennya memiliki invers di $ \mathbb{Z}$. Contohnya, invers perkalian dari 1 adalah 1 (bulat), tetapi invers perkalian dari 2 adalah $ \dfrac{1}{2} $yang jelas bukan bilangan bulat.
$(\mathbb{Z}^+, \times)$ adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang salah sebab strukturnya memiliki identitas, yaitu 1, yang merupakan bilangan bulat positif (seharusnya monoid dan bukan grup)
$(\mathbb{Z}, +) $ adalah monoid dan bukan grup merupakan pernyataan yang salah karena elemen himpunannya memiliki invers di himpunan itu sendiri. Misalkan invers jumlah dari 2 adalah -2, invers jumlah dari 0 adalah 0, dan seterusnya.
$(\mathbb{Z}^+, +)$ adalah semigrup dan bukan monoid merupakan pernyataan yang benar karena strukturnya tidak memiliki identitas. Identitas operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah 0, tetapi 0 sendiri bukan bilangan bulat positif.
Jadi, ada 2 alternatif jawaban yang benar. Berarti, pilih jawaban E.
Soal ON MIPA-PT
Diketahui grup permutasi$ S_4$. Order dari (1 2 3 4) \$in S_4$ adalah (order dari$ a \in G$ adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi$ a^n = e $dengan e elemen identitas)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
(1 2 3 4) artinya permutasi yang mengambil $\{1,2,3,4\}$ sebagai suatu sikel (siklus), yaitu $\begin{cases} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 4 \\ 4 \mapsto 1 \end{cases}$
Bagan di atas menunjukkan adanya 4 siklus, yang berarti membutuhkan pengoperasian sebanyak 4 kali dari permutasi semula. Jadi, order dari $S_4 $adalah 4.
Tips: Order dari (1 2 3 ... n) $\in S_n$ adalah n
Soal ON MIPA-PT
Misalkan $A = \{e, x, x^2, x^3, y, xy, x^2y, x^3y\}$ dengan$ x^4 = y^2 = e$ dan$ xy = y^{-1}x$. Banyaknya unsur idempoten di A adalah ....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
Elemen $a \in A$ disebut unsur idempoten di A jika berlaku $a^2 = a$. Jelas bahwa e adalah elemen idempoten dalam A, karena berlaku$ e^2 = e$. Perhatikan bahwa $x^{2a} = x^a $hanya ketika $x^a = e$, jadi tidak ada perpangkatan x lain yang merupakan idempoten. Selain itu, $y^{-1} = y$, sehingga dalam grup ini, berlaku xy = yx (abelian). Selanjutnya,
$(x^ay)(x^ay) = x^{2a}y^2 = x^{2a}e = x^{2a} \neq x^ay$
Jadi, tidak ada elemen A dalam bentuk x^ay yang merupakan idempoten di grup tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa banyak unsur idempoten di A hanya 1, yaitu e
Soal ON MIPA-PT
Misalkan $S_5$ adalah grup permutasi atas$ \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Banyaknya unsur berorde 2 di$ S_5 $adalah ...
Pembahasan
Unsur berorde 2 pada grup permutasi $S_5$ menandakan bahwa kita harus membentuk cycle permutasi berbentuk (a, b) atau (a, b)(c, d), yang banyak unsurnya dapat dihitung dengan aturan kombinasi. Ingat bahwa (a, b) dan (b, a) adalah sama (misalnya, (1, 2) = (2, 1), atau misal cycle berorde tiga (1, 2, 3) = (2, 3, 1) = (3, 1, 2)). Untuk kasus (a, b), ada sebanyak $C_2^5 = 10$.
Untuk kasus (a, b)(c, d), ada sebanyak $C_2^5 \times C_2^3 = 10 \times 3 = 30$
Jadi, banyak unsur berorde 2 di $S_5$ adalah 10 + 30 = 40.
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal Aljabar - Grup OSN PT dan OSN Pertamina ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang aljabar
Loading...