Topik Bahasan
aljabar
Soal 1. Misalkan G grup sedemikian sehingga $(ab)^2 = a^2b^2, untuk \forall a,b \in G$. Tunjukkan bahwa G merupakan grup komutatif (abelian).
Pembahasan:
Ambil sembarang $a, b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa ab = ba. Perhatikan bahwa
$ (ab)^2 = a^2b^2 = (aa)(bb)$
Di lain sisi, juga diketahui bahwa
$ (ab)^2 = (ab)(ab)$
Ini berarti,
$(aa)(bb) = (ab)(ab)$
Gunakan sifat asosiatif,
$ a(ab)b = a(ba)b$
Karena G grup, maka berlaku hukum kanselasi, diperoleh
ab = ba
Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif (abelian)
Soal 2. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya sendiri, maka G grup abelian!
Pembahasan:
Ambil sembarang $a, b \in G$. Diberikan bahwa $a = a^{-1} dan b = b^{-1}$. Juga karena G grup, maka operasi * pada G bersifat tertutup. Artinya, $a*b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $a * b = b *a$.
Perhatikan bahwa
$a * b = (a * b)^{-1}$
Dengan menggunakan teorema grup, berlaku
$ (a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a$
Terbukti, a * b = b * a. Jadi, G merupakan grup abelian..
Semoga pembahasan soal Soal Soal Pembuktian Grup Abelian (Aljabar) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal 1. Misalkan G grup sedemikian sehingga $(ab)^2 = a^2b^2, untuk \forall a,b \in G$. Tunjukkan bahwa G merupakan grup komutatif (abelian).
Pembahasan:
Ambil sembarang $a, b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa ab = ba. Perhatikan bahwa
$ (ab)^2 = a^2b^2 = (aa)(bb)$
Di lain sisi, juga diketahui bahwa
$ (ab)^2 = (ab)(ab)$
Ini berarti,
$(aa)(bb) = (ab)(ab)$
Gunakan sifat asosiatif,
$ a(ab)b = a(ba)b$
Karena G grup, maka berlaku hukum kanselasi, diperoleh
ab = ba
Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif (abelian)
Soal 2. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya sendiri, maka G grup abelian!
Pembahasan:
Ambil sembarang $a, b \in G$. Diberikan bahwa $a = a^{-1} dan b = b^{-1}$. Juga karena G grup, maka operasi * pada G bersifat tertutup. Artinya, $a*b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $a * b = b *a$.
Perhatikan bahwa
$a * b = (a * b)^{-1}$
Dengan menggunakan teorema grup, berlaku
$ (a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a$
Terbukti, a * b = b * a. Jadi, G merupakan grup abelian..
Semoga pembahasan soal Soal Soal Pembuktian Grup Abelian (Aljabar) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang aljabar
Loading...