Topik Bahasan
geometri bidang
Anda harus paham materi dan silakan baca jika belum paham teori dan rumus dasarnya:
Semoga pembahasan soal Soal Jawab Menentukan Panjang Garis Berat Segitiga ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Anda harus paham materi dan silakan baca jika belum paham teori dan rumus dasarnya:
Soal
Segitiga ABC siku-siku di A. Garis berat AD tegak lurus garis berat BE berpotongan di titik O. Jika panjang $ AB = x , \, $ maka tentukan panjang BE!
Pembahasan
Persamaan dari tegak lurus.
Segitiga ABC siku-siku di A :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \rightarrow x^2 + b^2 = a^2 \rightarrow b^2 - a^2 = -x^2 \, $ ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga $ BO = \frac{2}{3}BE $.
AO : OD = 2 : 1, sehingga $ AO = \frac{2}{3}AD $.
$ AO^2 + OB^2 = AB^2 \rightarrow (\frac{2}{3}AD)^2 + (\frac{2}{3}BE)^2 = x^2 $
$ \frac{4}{9}AD^2 + \frac{4}{9}BE^2 = x^2 \rightarrow AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 \, $ ....pers(ii).
Persamaan dari garis berat.
Garis berat $ AD $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 - \frac{1}{4} AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} AD^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 & \\ BE^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 & - \\ \hline AD^2 - BE^2 = \frac{1}{2}(b^2-a^2) + \frac{1}{4}(b^2 - a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(b^2-a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(-x^2) & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & \end{array} $
Kita peroleh : $ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 \, $ ....pers(v).
Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
$\begin{array}{cc} AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & - \\ \hline 2BE^2 = 3x^2 & \\ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 & \end{array} $
Dari bentuk $ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 $, kita peroleh :
$ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 \rightarrow BE^2 = \frac{6}{4} x^2 \rightarrow BE = \sqrt{\frac{6}{4} x^2 } = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.
Jadi, kita peroleh panjang $ BE = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $
.
Segitiga ABC siku-siku di A :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \rightarrow x^2 + b^2 = a^2 \rightarrow b^2 - a^2 = -x^2 \, $ ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga $ BO = \frac{2}{3}BE $.
AO : OD = 2 : 1, sehingga $ AO = \frac{2}{3}AD $.
$ AO^2 + OB^2 = AB^2 \rightarrow (\frac{2}{3}AD)^2 + (\frac{2}{3}BE)^2 = x^2 $
$ \frac{4}{9}AD^2 + \frac{4}{9}BE^2 = x^2 \rightarrow AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 \, $ ....pers(ii).
Persamaan dari garis berat.
Garis berat $ AD $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 - \frac{1}{4} AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} AD^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 & \\ BE^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 & - \\ \hline AD^2 - BE^2 = \frac{1}{2}(b^2-a^2) + \frac{1}{4}(b^2 - a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(b^2-a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(-x^2) & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & \end{array} $
Kita peroleh : $ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 \, $ ....pers(v).
Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
$\begin{array}{cc} AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & - \\ \hline 2BE^2 = 3x^2 & \\ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 & \end{array} $
Dari bentuk $ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 $, kita peroleh :
$ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 \rightarrow BE^2 = \frac{6}{4} x^2 \rightarrow BE = \sqrt{\frac{6}{4} x^2 } = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.
Jadi, kita peroleh panjang $ BE = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $
Semoga pembahasan soal Soal Jawab Menentukan Panjang Garis Berat Segitiga ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang geometri bidang
Loading...