Topik Bahasan
Kode 624 2019,
UM UGM
Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 4 $
Jawab
DIketahui persamaan : $ |x^2-4|=x+|x-2| $
Definisi nilai mutlak :
Pertama untuk $ |x-2| $
$ x - 2 $ positif untuk $ x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
$ x - 2 $ negatif untuk $ x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & \text{untuk } x < 2 \end{array} \right. $
Kedua untuk $ |x^2-4| $ :
$ x^2-4 $ positif untuk $ x^2-4\geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0 $
$ x^2-4 $ negatif untuk $ x^2-4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2 $
$ |x^2-4| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2-4 & \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2-4) & \text{untuk } -2 < x < 2 \end{array} \right. $
Sesuai dengan definisi di atas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $ x = -2 $ dan $ x = 2 $. Artinya terbentuk tiga kemungkinan (daerah) nilai $ x $ yaitu
Daerah I: $ x < -2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Daerah II : $ -2 \leq x < 2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4 $
Daerah III : $ x \geq 2 $
$ |x - 2 | = x-2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Menyelesaikan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ berdasarkan nilai $ x $ (daerah $x$) :
Daerah I: $ x < -2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt{6} \end{align} $
Karena daerah I $ x < -2 $ , maka $ x_1 = -\sqrt{6} $ yang memenuhi.
Daerah II: $ -2 \leq x < 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ -x^2+4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 2 \\ x & = \sqrt{2} \end{align} $
$ x_2 = -\sqrt{2} \, $ dan $ x_3 = \sqrt{2} $ memenuhi daerah II.
Daerah III : $ x \geq 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ x - 2 \\ x^2 - 2x - 2 & = 0 \end{align} $
Dengan Rumus ABC :
$\begin{align} x & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-2)}}{2.1} \\ & = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ & = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah III $ x \geq 2 $ , maka $ x_4 = 1 + \sqrt{3} $ yang memenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya yaitu :
Hp $ = \{ -\sqrt{6}, -\sqrt{2} , \sqrt{2} , 1 +\sqrt{3} \} $
Artinya ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi.
Jadi, terdapat 4 solusi nilai $ x $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Persamaan Mutlak) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 4 $
Catatan
Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, kita hilangkan dulu tanda mutlaknya dengan definisi nilai mutlak di atas.
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Rumus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, kita hilangkan dulu tanda mutlaknya dengan definisi nilai mutlak di atas.
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Rumus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
Jawab
DIketahui persamaan : $ |x^2-4|=x+|x-2| $
Definisi nilai mutlak :
Pertama untuk $ |x-2| $
$ x - 2 $ positif untuk $ x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
$ x - 2 $ negatif untuk $ x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & \text{untuk } x < 2 \end{array} \right. $
Kedua untuk $ |x^2-4| $ :
$ x^2-4 $ positif untuk $ x^2-4\geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0 $
$ x^2-4 $ negatif untuk $ x^2-4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2 $
$ |x^2-4| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2-4 & \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2-4) & \text{untuk } -2 < x < 2 \end{array} \right. $
Sesuai dengan definisi di atas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $ x = -2 $ dan $ x = 2 $. Artinya terbentuk tiga kemungkinan (daerah) nilai $ x $ yaitu
Daerah I: $ x < -2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Daerah II : $ -2 \leq x < 2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4 $
Daerah III : $ x \geq 2 $
$ |x - 2 | = x-2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Menyelesaikan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ berdasarkan nilai $ x $ (daerah $x$) :
Daerah I: $ x < -2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt{6} \end{align} $
Karena daerah I $ x < -2 $ , maka $ x_1 = -\sqrt{6} $ yang memenuhi.
Daerah II: $ -2 \leq x < 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ -x^2+4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 2 \\ x & = \sqrt{2} \end{align} $
$ x_2 = -\sqrt{2} \, $ dan $ x_3 = \sqrt{2} $ memenuhi daerah II.
Daerah III : $ x \geq 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ x - 2 \\ x^2 - 2x - 2 & = 0 \end{align} $
Dengan Rumus ABC :
$\begin{align} x & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-2)}}{2.1} \\ & = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ & = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah III $ x \geq 2 $ , maka $ x_4 = 1 + \sqrt{3} $ yang memenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya yaitu :
Hp $ = \{ -\sqrt{6}, -\sqrt{2} , \sqrt{2} , 1 +\sqrt{3} \} $
Artinya ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi.
Jadi, terdapat 4 solusi nilai $ x $ .
Semoga pembahasan soal Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Persamaan Mutlak) ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang Kode 624 2019, UM UGM
Loading...