Topik Bahasan
aljabar
Soal: Diberikan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan $x * y = |x - y| $untuk setiap $x,y \in \mathbb{Z}^+$. Apakah operasi * pada himpunan tersebut bersifat tertutup, komutatif, atau asosiatif?
Jawab:
Dengan meninjau definisi harga mutlak
$ |x - y| = \begin{cases} x - y, & \mbox{jika}~x > y \\ 0, & \mbox{jika}~x = y \\ -x + y, & \mbox{jika}~x < y \end{cases}$
Perhatikan bahwa |x - y| = 0 jika dan hanya jika x = y, padahal 0 bukanlah anggota$ \mathbb{Z}^+$, sehingga operasi * tidak bersifat tertutup dalam $\mathbb{Z}^+$. Sebagai contoh, ambil x = y = 3, akibatnya |x - y| = |3 - 3| = 0 $\notin \mathbb{R}^+$
Jika operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, maka haruslah berlaku
$ x * y = y * x dengan x, y \in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
$x * y = |x - y| = |(-1)(y - x)|$
$= |-1|.|y-x| = 1.|y-x| = |y-x| = y * x$
Jadi, operasi * terbukti memenuhi sifat komutatif.
Jika operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif, maka haruslah berlaku
$x * (y * z)= (x * y) * z $dengan x, y, z $\in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
x * (y * z)= x * |y - z| = |x - |y - z||
(x * y) * z = |x - y| * z = ||x - y| - z|
Diperoleh bahwa x * (y * z) \neq (x * y) * z
Jadi, operasi * tidak terbukti memenuhi sifat asosiatif..
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Biner dan Grup-2 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal: Diberikan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan $x * y = |x - y| $untuk setiap $x,y \in \mathbb{Z}^+$. Apakah operasi * pada himpunan tersebut bersifat tertutup, komutatif, atau asosiatif?
Jawab:
Dengan meninjau definisi harga mutlak
$ |x - y| = \begin{cases} x - y, & \mbox{jika}~x > y \\ 0, & \mbox{jika}~x = y \\ -x + y, & \mbox{jika}~x < y \end{cases}$
Perhatikan bahwa |x - y| = 0 jika dan hanya jika x = y, padahal 0 bukanlah anggota$ \mathbb{Z}^+$, sehingga operasi * tidak bersifat tertutup dalam $\mathbb{Z}^+$. Sebagai contoh, ambil x = y = 3, akibatnya |x - y| = |3 - 3| = 0 $\notin \mathbb{R}^+$
Jika operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, maka haruslah berlaku
$ x * y = y * x dengan x, y \in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
$x * y = |x - y| = |(-1)(y - x)|$
$= |-1|.|y-x| = 1.|y-x| = |y-x| = y * x$
Jadi, operasi * terbukti memenuhi sifat komutatif.
Jika operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif, maka haruslah berlaku
$x * (y * z)= (x * y) * z $dengan x, y, z $\in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
x * (y * z)= x * |y - z| = |x - |y - z||
(x * y) * z = |x - y| * z = ||x - y| - z|
Diperoleh bahwa x * (y * z) \neq (x * y) * z
Jadi, operasi * tidak terbukti memenuhi sifat asosiatif..
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Biner dan Grup-2 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang aljabar
Loading...