Topik Bahasan
aljabar
Soal:
Diketahui G = {bilangan rasional positif} dan a * b = $\dfrac{ab}{2}, \forall a,b\in G$. Tunjukkan bahwa (G, *) merupakan grup
Bukti:
Agar (G, *) dikatakan sebagai grup dalam operasi bintang, maka harus ditunjukkan bahwa (G, *) memenuhi 4 aksioma grup (termasuk sifat tertutup).
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang bersifat tertutup pada G.
Ambil sembarang a,b \in G sehingga menurut definisi operasi bintang, diperoleh
$ a*b = \dfrac{ab}{2}$
Karena ab dan 2 masing-masing merupakan bilangan bulat positif, sehingga $ \dfrac{ab}{2}$ merupakan bilangan rasional positif, maka $\dfrac{ab}{2} $juga anggota G. Berarti, operasi bintang bersifat tertutup pada G.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
Ambil sembarang a,b,c \in G. Perhatikan bahwa,
$ (a * b) * c = \dfrac{ab}{2} * c$
$= \dfrac{abc}{4} = a * \dfrac{bc}{2} = a * (b * c)$
Karena (a * b) * c = a * (b * c), maka dapat dikatakan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki identitas.
Ambil sembarang a \in G dengan e sebagai identitas (yang akan dicari). Perhatikan bahwa,
$a * e = \dfrac{ae}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
$ e * a = \dfrac{ea}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
Jadi, unsur identitas/kesatuannya adalah 2.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki invers.
Ambil sembarang a, b \in G, sehingga menurut aksioma invers pada grup, invers dari a yaitu b harus memenuhi
$ a * b = 2 \Leftarrow \dfrac{ab}{2} = 2 \Leftarrow b = \dfrac{4}{a}$
Jadi, invers sembarang $a \in G$ adalah $\dfrac{4}{a}$.
Karena memenuhi 4 aksioma grup tersebut, maka (G, *) merupakan grup. (Terbukti)
.
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Biner dan Grup-4 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Soal:
Diketahui G = {bilangan rasional positif} dan a * b = $\dfrac{ab}{2}, \forall a,b\in G$. Tunjukkan bahwa (G, *) merupakan grup
Bukti:
Agar (G, *) dikatakan sebagai grup dalam operasi bintang, maka harus ditunjukkan bahwa (G, *) memenuhi 4 aksioma grup (termasuk sifat tertutup).
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang bersifat tertutup pada G.
Ambil sembarang a,b \in G sehingga menurut definisi operasi bintang, diperoleh
$ a*b = \dfrac{ab}{2}$
Karena ab dan 2 masing-masing merupakan bilangan bulat positif, sehingga $ \dfrac{ab}{2}$ merupakan bilangan rasional positif, maka $\dfrac{ab}{2} $juga anggota G. Berarti, operasi bintang bersifat tertutup pada G.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
Ambil sembarang a,b,c \in G. Perhatikan bahwa,
$ (a * b) * c = \dfrac{ab}{2} * c$
$= \dfrac{abc}{4} = a * \dfrac{bc}{2} = a * (b * c)$
Karena (a * b) * c = a * (b * c), maka dapat dikatakan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki identitas.
Ambil sembarang a \in G dengan e sebagai identitas (yang akan dicari). Perhatikan bahwa,
$a * e = \dfrac{ae}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
$ e * a = \dfrac{ea}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
Jadi, unsur identitas/kesatuannya adalah 2.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki invers.
Ambil sembarang a, b \in G, sehingga menurut aksioma invers pada grup, invers dari a yaitu b harus memenuhi
$ a * b = 2 \Leftarrow \dfrac{ab}{2} = 2 \Leftarrow b = \dfrac{4}{a}$
Jadi, invers sembarang $a \in G$ adalah $\dfrac{4}{a}$.
Karena memenuhi 4 aksioma grup tersebut, maka (G, *) merupakan grup. (Terbukti)
.
Semoga pembahasan soal Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Biner dan Grup-4 ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.
Cari Soal dan Pembahasan tentang aljabar
Loading...